Termodinamika példák - Ideális gáz entrópiája

Feladat

1. Az ideális gáz entrópiáját gyakran az $\setbox0\hbox{$S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln V+ S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban használják.
   • a) Indokolja meg, hogy az $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó n mólszámtól!
   • b) Adjon meg egy olyan $\setbox0\hbox{$S_0(n)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az a) pontban szereplő követelményt!

Megoldás

a) Az entrópia extenzív mennyiség, ezért egy nagyobb rendszer entrópiája a részrendszerek entrópiájának összege. Ez az additivitás csak úgy teljesülhet, ha az $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ referenciaérték függ a rendszer nagyságától, azaz a mólszámtól.

Megjegyzés

A feladatban megadott képletben $\setbox0\hbox{$\ln T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\ln V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csak dimenzió nélkül (előre rögzített $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egységekben mért mértékegység nélküli számként) értelmezhetőek, ahogy az előző feladatban megállapítottuk:

$\[ S\left(T,V,n\right)- S_0(n)=n\left( C_V \ln T + R\ln V \right)\]$

b) Mivel az entrópia extenzív mennyiség, egyensúlyban felírható egy extenzív mennyiség (pl. mólszám) és intenzív mennyiségek összegének szorzataként. Intenzívnek tekintendőek a moláris- és sűrűségjellegű mennyiségek is.

Tegyük a térfogatot is molárissá, így leválaszthatjuk a mólszámtól való függést:

$\[ S\left(T,V,n\right) = n\left( C_V \ln T + R\ln \frac{V}{n} + R\ln n +\frac{S_0(n)}{n} \right) = n\left( C_V \ln T + R\ln V_M + s_0 \right), \]$

ahol a zárójelben már intenzív mennyiségek állnak: $\setbox0\hbox{$ V_M = \frac{V}{n} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ moláris térfogat és $\setbox0\hbox{$ s_0 = R\ln n + \frac{S_0(n)}{n} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ már független a mólszámtól, és beazonosíthatjuk, hogy

$\[ S_0(n)=-nR\ln n+ns_0. \]$