„Termodinamika példák - Ideális gáz kompresszibilitásai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
|||
| (egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\kappa_T=\frac1p$, míg adiabatikus összenyomásnál $\kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$, ahol $\gamma =\frac{C_p}{C_V}$. | </noinclude><wlatex># Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás $\kappa_T=\frac1p$, míg adiabatikus összenyomásnál $\kappa_{\text{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$, ahol $\gamma =\frac{C_p}{C_V}$. | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a kompresszibilitás definícióját, és a megfelelő folyamatokat leíró egyenleteket.}}{{Végeredmény|content=$$\kappa_{\mathit{ad}}=\frac{1}{\gamma p}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója | <wlatex>A kompresszibilitás '''általános''' definíciója | ||
| − | $${\kappa }_{\ | + | $$ {\kappa }_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}},$$ |
| − | ahol | + | ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon. |
| − | '''Izoterm''' esetben az | + | '''Izoterm''' esetben az állapotegyenlet |
| − | amiből $$\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T=-\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p},$$ | + | $$V(p) = NkT\cdot\frac{1}{p}, $$ |
| − | azaz az izoterm kompresszibilitás $$\kappa_T=\frac{1}{p}$$ | + | amiből |
| + | $$ \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T = -\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p}, $$ | ||
| + | azaz az izoterm kompresszibilitás | ||
| + | $$ \kappa_T = \frac{1}{p}. $$ | ||
'''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: | '''Adiabatikus''' esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk: | ||
| − | + | $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $V$ szerint deriválva | |
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, $$ | ||
amiből | amiből | ||
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},$$ | ||
| − | aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén | + | aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk: |
| − | $$ -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$ | + | $$ \kappa_\text{ad} = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.$$ |
| − | + | == Megjegyzés == | |
| + | '''Adiabatikus''' esetben a $p V^\gamma = \mathrm{const.} $ egyenletet $p$ szerint deriválva | ||
$$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$ | $$ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, $$ | ||
ami ismét az előző eredményre vezet: | ami ismét az előző eredményre vezet: | ||
| − | $$\kappa_ | + | $$ \kappa_\text{ad} = \frac{1}{\gamma p}. $$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. április 28., 17:53-kori változata
Feladat
- Mutassa meg, hogy ideális gáz izoterm összenyomásánál a kompresszibilitás
, míg adiabatikus összenyomásnál 
, ahol 
.
Megoldás
A kompresszibilitás általános definíciója
![\[ {\kappa }_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}},\]](/images/math/4/f/9/4f905ba248e5de17a5b5987ef1ec1911.png)
ahol iránymenti deriváltat kell képezni az állapotváltozás egyenlete által meghatározott vonalon.
Izoterm esetben az állapotegyenlet
![\[V(p) = NkT\cdot\frac{1}{p}, \]](/images/math/e/d/3/ed343df7b0072af0256e0dc470b9cfbc.png)
amiből
![\[ \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p}\right)_T = -\frac{NkT}{p^2}=-\frac{V}{p}, \]](/images/math/a/c/f/acfb1ee3172daacb69643e2c93a585a5.png)
azaz az izoterm kompresszibilitás
![\[ \kappa_T = \frac{1}{p}. \]](/images/math/d/c/0/dc00f5b0fb29ef984b6d9af4efc4d21f.png)
Adiabatikus esetben az adiabata egyenletének egyik alakjából kell kiindulnunk:
egyenletet 
szerint deriválva
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}V^\gamma + \gamma p V^{\gamma-1} = 0, \]](/images/math/1/2/6/12605718c8922f2d022b1c75ef5041fe.png)
amiből
![\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -\frac{\gamma p}{V},\]](/images/math/e/3/6/e360ad197e5b09ce8dd33507378018aa.png)
aminek formálisan vehetjük a reciprokát, ha továbbra is az adiabata mentén számítjuk:
![\[ \kappa_\text{ad} = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = \frac{1}{\gamma p}.\]](/images/math/b/5/1/b51f46bb60b73c90d1599844b8838318.png)
Megjegyzés
Adiabatikus esetben a egyenletet 
szerint deriválva
![\[ V^\gamma+\gamma p V^{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}p} = 0, \]](/images/math/3/d/d/3dda19d31e0349131dcf8d80aba373e4.png)
ami ismét az előző eredményre vezet:
![\[ \kappa_\text{ad} = \frac{1}{\gamma p}. \]](/images/math/7/8/c/78c3796f194465bf9f595e4b8622fabd.png)
