„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
26. sor: | 26. sor: | ||
ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia. | ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia. | ||
− | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\ | + | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia: |
− | $$\left.\frac{\mathrm{d}f | + | $$\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.$$ |
+ | A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele: | ||
+ | $$w_0=\frac12kT=\frac12 w_v$$ | ||
− | |||
− | $ | + | Az átlagos energiát az $f(w)$ függvény első momentumaként számíthatjuk: |
− | + | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w$$ | |
− | $ | + | Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható: |
− | + | $$ \left[-kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$ | |
− | + | ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája | |
− | + | $$\langle w\rangle=\frac32kT$$ | |
− | + | az ekvipartíció tételével egyetértésben. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | $$ | + | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. március 21., 20:07-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az sebességeloszlási függvényből a összefüggés felhasználásával vezessük le az energia-eloszlási függvényt, ahol azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik és közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban leírt indoklásnak megfelelően az
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a energiaintervallumnak:
ahol az intervallum hossza
sebesség--energia-összefüggésből differenciálás útján kapható:
Behelyettesítés után:
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia.
Mivel pozitív értékkészletű, -ban és -ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia:
A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele:
Az átlagos energiát az függvény első momentumaként számíthatjuk:
Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható:
ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke . Ezzel a részecskék átlagos energiája
az ekvipartíció tételével egyetértésben.