„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
a |
a (Szöveg koherenssé tétele.) |
||
31. sor: | 31. sor: | ||
Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia: | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia: | ||
$$ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. $$ | $$ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. $$ | ||
− | A | + | A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele: |
$$ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. $$ | $$ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. $$ | ||
− | Az átlagos | + | Az átlagos energia az $f(w)$ függvény első momentuma: |
− | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w.$$ | + | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w |
+ | = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. $$ | ||
Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki: | Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki: | ||
− | $$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$ | + | $$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, $$ |
− | + | az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban | |
− | $$\langle w\rangle=\ | + | $$ \langle w\rangle = \frac32 kT. $$ |
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 26., 12:25-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kinetikus gázelmélet, transzport |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az sebességeloszlási függvényből a összefüggés felhasználásával vezessük le az energia-eloszlási függvényt, ahol azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik és közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, a legvalószínűbb sebesség és a normáló nényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a energiaintervallumnak:
ahol az intervallum kezdőpontja a
sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
Behelyettesítés után:
azaz
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és normáló tényező.
Mivel pozitív értékkészletű, -ban és -ben lecseng, azért extrémuma egyben a -lal jelölt legvalószínűbb energia:
A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:
Az átlagos energia az függvény első momentuma:
Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:
az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke . Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban