„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
a (Tördelés fejlesztése.) |
|||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
6. sor: | 6. sor: | ||
| tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | | tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | ||
| témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | | témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | ||
+ | | rövid = Kinetikus gázelmélet, transzport | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}\frac{1}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}, \text{ ahol } w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] | + | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az |
− | $$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | + | $$ F(v) = A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\} $$ |
− | Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény | + | ''Maxwell''-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$ a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. |
− | Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: | + | Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: |
− | $$F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,$$ | + | $$ F(v)\,\mathrm{d}v = f(w)\,\mathrm{d}w, $$ |
− | ahol az intervallum | + | ahol az intervallum kezdőpontja a |
− | $$w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}$$ | + | $$ w = \frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w} $$ |
− | + | sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható: | |
− | $$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}$$ | + | $$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}. $$ |
Behelyettesítés után: | Behelyettesítés után: | ||
+ | $$ f\left(w\right)\,\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v | ||
+ | = A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\,\mathrm{d}w,$$ | ||
+ | azaz | ||
+ | $$f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,$$ | ||
+ | ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$ normáló tényező. | ||
− | + | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia: | |
− | + | $$ \left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w=w_0} = B \exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\} \left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right) = 0. $$ | |
− | + | A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele: | |
− | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia: | + | $$ w_0 = \frac12 kT = \frac12 w_v. $$ |
− | $$\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.$$ | + | |
− | A | + | |
− | $$w_0=\ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w$$ | + | Az átlagos energia az $f(w)$ függvény első momentuma: |
+ | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w | ||
+ | = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w. $$ | ||
− | + | Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki: | |
− | $$ \left[-kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$ | + | $$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w, $$ |
− | + | az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban | |
− | $$\langle w\rangle=\ | + | $$ \langle w\rangle = \frac32 kT. $$ |
− | + | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. július 1., 14:49-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Kinetikus gázelmélet, transzport |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az sebességeloszlási függvényből a összefüggés felhasználásával vezessük le az energia-eloszlási függvényt, ahol azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik és közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, a legvalószínűbb sebesség és a normáló tényező. Az energia szerinti eloszlás (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvény) kiszámításához, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a energiaintervallumnak:
ahol az intervallum kezdőpontja a
sebesség–energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
Behelyettesítés után:
azaz
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és normáló tényező.
Mivel pozitív értékkészletű, -ban és -ben lecseng, azért extrémuma egyben a -lal jelölt legvalószínűbb energia:
A kifejezés gyöke a legvalószínűbb energia, a kerek zárójeles részből kapjuk, és éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia fele:
Az átlagos energia az függvény első momentuma:
Ez parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) értékelhető ki:
az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig a teljes energiaeloszlás-függvény – egy normált sűrűségfüggvény – integrálja, azaz értéke . Ezzel a részecskék átlagos energiája az ekvipartíció tételével összhangban