„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$ | + | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] leírt indoklásnak megfelelően az |
+ | $$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | ||
+ | Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. | ||
+ | |||
+ | Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: | ||
+ | $$F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,$$ | ||
+ | ahol az intervallum hossza | ||
+ | $$w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}$$ | ||
+ | sebesség--energia-összefüggésből differenciálás útján kapható: | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}$$ | ||
+ | |||
+ | Behelyettesítés után: | ||
+ | |||
+ | $$f\left(w\right)\mathrm{d}w=A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,$$ | ||
+ | ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia. | ||
+ | |||
+ | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\inf$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia: | ||
+ | $$\left.\frac{\mathrm{d}f\left(w\right)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=C\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0\ | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{1}{2}-\frac{w}{kT}=0\ | ||
+ | |||
+ | $$ {w}_{0}={w}_{lv}=\frac{1}{2}kT$$ | ||
+ | |||
+ | Az átlagos-, várható energia: | ||
+ | |||
+ | $\stackrel{\bar }{w}={w}_{atl}}=\langle w\rangle =\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}wf\left(w\right)\mathrm{d}w=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=C\left(-kT{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\right) $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | 0\end{array}-C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(-kT\right)\frac{3}{2}\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=$$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | =0-0+\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}C\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(w\right)\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\end{array}$ | ||
+ | |||
+ | $$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. március 21., 19:47-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az sebességeloszlási függvényből a összefüggés felhasználásával vezessük le az energia-eloszlási függvényt, ahol azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik és közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban leírt indoklásnak megfelelően az
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a energiaintervallumnak:
ahol az intervallum hossza
sebesség--energia-összefüggésből differenciálás útján kapható:
Behelyettesítés után:
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia.
Mivel pozitív értékkészletű, -ban és -ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia:
LaTex syntax error
\[\left.\frac{\mathrm{d}f\left(w\right)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=C\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0\\]
LaTex syntax error
\[ \frac{1}{2}-\frac{w}{kT}=0\\]
Az átlagos-, várható energia:
$\stackrel{\bar }{w}={w}_{atl}}=\langle w\rangle =\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}wf\left(w\right)\mathrm{d}w=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=C\left(-kT{w}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\right)LaTex syntax error
\[ 0\end{array}-C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left(-kT\right)\frac{3}{2}\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=\]
LaTex syntax error
\[ =0-0+\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}C\sqrt{w}{\mathrm{e}}^{-\frac{w}{kT}}\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f\left(w\right)\mathrm{d}w=\frac{3}{2}kT\end{array}$\]