„Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Megoldás) |
a (Szöveg koherenssé tétele) |
||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}{{Végeredmény|content=$${\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}$$ |
| + | }}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre | <wlatex>Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre | ||
| 15. sor: | 16. sor: | ||
\kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.$$ | \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.$$ | ||
| − | + | Izobár folyamatban | |
| − | $$ \mathrm{d}p = 0 = | + | $$ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, $$ |
| − | és a | + | és a $\mathrm{d}T$-vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást: |
$$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V | ||
= -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p | = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p | ||
= \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p | = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p | ||
| − | = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}$$ | + | = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. $$ |
| − | + | == Megjegyzés == | |
| − | $$ \mathrm{d}V = 0 = | + | Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal: |
| + | $$ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p | ||
= V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, $$ | = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, $$ | ||
| − | formálisan osztunk $\mathrm{d}T$-vel és jelöljük kell az izochor állapotváltozást: | + | formálisan osztunk $\mathrm{d}T$-vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást: |
$$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. $$ | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. április 28., 18:02-kori változata
Feladat
- A
állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a 
mennyiséget a 
hőtágulási együttható és a 
izotermikus kompresszibilitás segítségével!
Megoldás
Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre
![\[ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.\]](/images/math/3/3/e/33e0f367042e48ed1e1fba064ff1dc56.png)
Izobár folyamatban
![\[ \mathrm{d}p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V, \]](/images/math/9/b/b/9bbcd1fae54dc65c9e7047808eb8348c.png)
és a 
-vel való formális osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}. \]](/images/math/4/a/6/4a61605d6b2db0de49b54b971efb0777.png)
Megjegyzés
Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:
![\[ \mathrm{d}V = 0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \,\mathrm{d}p = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, \]](/images/math/8/2/6/82613885efcb3b7605484717efd6370a.png)
formálisan osztunk -vel, és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. \]](/images/math/c/4/f/c4fcbf429061d44dfada22dc0e50cdfe.png)
