Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel

Feladat

1. A $\setbox0\hbox{$p=p(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\setbox0\hbox{$\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiséget a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együttható és a $\setbox0\hbox{$\kappa_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!

Megoldás

Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre

$\[ \beta_p = \frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad \kappa_T = -\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T.\]$

• Izobár folyamatban

$\[ \mathrm{d}p = 0 = {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T \mathrm{d}V, \]$

és a formális $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:

$\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}\]$

• Gyorsabban juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:

$\[ \mathrm{d}V = 0 = {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T \mathrm{d}p = V\beta_p \,\mathrm{d}T - V\kappa_T \,\mathrm{d}p, \]$

formálisan osztunk $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:

$\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. \]$