„Termodinamika példák - Stern-kísérlet” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
9. sor: 9. sor:
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok|Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| témakör    = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok|Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
 
| következő  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel|Állapotváltozás, I. főtétel
 
| következő  = Termodinamika - Állapotváltozás, I. főtétel|Állapotváltozás, I. főtétel
| következőpélda = Termodinamika példák - Stern-kísérlet|Stern-kísérlet
+
| előzőpélda = Termodinamika példák - Egyatomos ideális gáz nyomása belső energiával|Egyatomos ideális gáz nyomása belső energiával
 
}}
 
}}
  

A lap 2012. szeptember 12., 17:50-kori változata


Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064



Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, \setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az \setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyíláson át jutottak az \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerfelületre. A berendezés \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forgott, aminek következtében a \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességű atom az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont helyett \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ben csapódott le.

  • a) Állapítsuk meg az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszát \setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám \setbox0\hbox{$50\,s^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!

Az atomok trepülési ideje \setbox0\hbox{$R/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a berendezés kerületi sebessége \setbox0\hbox{$\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezzel az \setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív hossza

\[x=\frac{\omega R^2}{v}.\]
  • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok? Útmutatás: Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az \setbox0\hbox{$x\sim 1/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggést.
A Maxwell-féle sebességeloszlás
\[F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}.\]

Az eloszlásfüggvény matematikai konstrukció, a gázmolekulák \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességintervallumba eső hányadát \setbox0\hbox{$F(v)\mathrm{d}v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adja, a feladatmegoldás során ezzel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az \setbox0\hbox{$[x,\mathrm{d}x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumba érkező ezüstatomok \setbox0\hbox{$g(x)\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel:

\[J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x\]

Az ismert adatokból kifejezzül a \setbox0\hbox{$J_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% részecskeáramsűrűséget. A \setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre

\[N_v\mathrm{d}v = N\,F(v)\mathrm{d}v,\]
\[n_{Vv}\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\mathrm{d}v.\]

Itt a molekula-áramsűrűség definíció szerint

\[J_v\mathrm{d}v=v n_{Vv}\mathrm{d}v\]

Az előző feladatrészben megteremtettük az \setbox0\hbox{$x(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály

\[|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x\]

differenciálás útján bizonyítható (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességhez kis befutott \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ív tartozik).

\[J_v\mathrm{d}v=n_VA\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\mathrm{d}v=\frac{nA}{v_0^3}(\omega R^2)^5\frac1{x^5}\exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\mathrm{d}x=J(x)\mathrm{d}x.\]

A legnagyobb rétegvastagsághoz ennek a függvénynek az extrémumát keressük. Konstans faktor erejéig, \setbox0\hbox{$a=\frac{\omega R^2}{v_0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jelöléssel:

\[\frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x}=\left.C\cdot\left[2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5}-\frac5{x^6}\right]\exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\}\right|_{x=x_m}=0.\]
Ez zérussá \setbox0\hbox{$2ax^2-5x^4=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre
\[x_m^2=\frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2,\]
\[x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0\]

kifejezések adódnak.