„Termodinamika példák - Szilárd-folyadék átalakulás közelítő egyensúlyi görbéje” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika - Fázisátalakulások {{Kísérleti fizika g…”) |
a |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># A szilárd-folyadék egyensúlyi | + | </noinclude><wlatex># A szilárd-folyadék egyensúlyi görbének (olvadási görbe) közelítő meghatározására gyakran használják a $\displaystyle p= p_1+\frac{L_M^{\text{olv}}}{\Delta V_M^{\text{olv}}}\ln \frac T{T_1}$ összefüggést ($T_1$ a $p_1$ nyomáson, $T$ a $p$ nyomáson érvényes olvadáspont, az egyenletben szereplő $L_M^{\text{olv}}$ az anyag moláris átalakulási hője (vagy moláris entalpiaváltozása), $\Delta V_M^{\text{olv}}$ pedig a móltérfogat változása az olvadásnál).</wlatex> |
− | #* a) <wlatex>Vezessük le ezt az egyenletet, és állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= | + | #* a) <wlatex>Vezessük le ezt az egyenletet, és állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Integráljuk a Clausius-Clapeyron-egyenletet!}}</wlatex></includeonly> |
− | #* b) <wlatex>Mutassuk ki, hogy a $T_1$-hez képest kis $T-T_1$ érték eseten az egyensúlyi nyomás lineárisan változik a $T-T_1$ különbséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel a kis | + | #* b) <wlatex>Mutassuk ki, hogy a $T_1$-hez képest kis $T-T_1$ érték eseten az egyensúlyi nyomás lineárisan változik a $T-T_1$ különbséggel!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel a kis $x$-ekre érvényes $\ln \left(1+x\right)\approx x$ összefüggést.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>'''a)''' Két fázis egyensúlyának szükséges feltételei, hogy |
+ | $$ p_1 = p_2 = p, $$ | ||
+ | $$ T_1 = T_2 = T, $$ | ||
+ | és | ||
+ | $$ \mu_1\left(p,T\right) = \mu_2\left(p,T\right). $$ | ||
+ | |||
+ | A harmadik feltételből adódik, hogy az egyensúlyi görbén elmozdulva | ||
+ | $$ \mathrm{d}\mu_1 = \mathrm{d}\mu_2, $$ | ||
+ | azaz a teljes differenciálok megegyeznek: | ||
+ | $$ \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T | ||
+ | = \left(\frac{\partial \mu_2}{\partial p}\right)_T\,\mathrm{d}p + \left(\frac{\partial \mu_2}{\partial T}\right)_p\,\mathrm{d}T. $$ | ||
+ | |||
+ | A kémiai potenciálra érvényes [[Termodinamika példák - A termodinamika differenciális összefüggései|differenciális összefüggéseket]] behelyettesítve: | ||
+ | $$ \left(S_{M2}-S_{M1}\right)\,\mathrm{d}T = \left(V_{M2}-V_{M1}\right)\,\mathrm{d}p. $$ | ||
+ | |||
+ | A ''Clausius''-''Clapeyron'' egyenlet: | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{S_{M2}-S_{M1}}{V_{M2}-V_{M1}}. $$ | ||
+ | |||
+ | Az átalakulás állandó $T$ hőmérsékleten megy végbe, így az entrópiaváltozás egyszerűen kifejezhető a redukált hővel, a ''Clapeyron''-egyenletet nyerjük: | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M}{T\Delta V_M}. $$ | ||
+ | |||
+ | Ezt változószétválasztás után $p$ és $T$ szerint kiintegrálva szilárd-folyadék fázisátmenetre, feltéve, hogy $ L_M^\text{olv}$ és $\Delta V_M^\text{olv}$ sem függ a hőmérséklettől: | ||
+ | $$ p = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\ln \frac T{T_1}. $$ | ||
+ | |||
+ | '''b)''' Ha $ T-T_1 \ll T_1$, alkalmazhatjuk $\ln \left(1+x\right)\approx x$ közelítést: | ||
+ | $$ p = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\ln \frac{T-T_1+T_1}{T_1} | ||
+ | = p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\ln \left(1+\frac{T-T_1}{T_1}\right) | ||
+ | \approx p_1+\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_M^\text{olv}}\frac{T-T_1}{T_1}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 28., 22:00-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Fázisátalakulások |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- A szilárd-folyadék egyensúlyi görbének (olvadási görbe) közelítő meghatározására gyakran használják a összefüggést ( a nyomáson, a nyomáson érvényes olvadáspont, az egyenletben szereplő az anyag moláris átalakulási hője (vagy moláris entalpiaváltozása), pedig a móltérfogat változása az olvadásnál).
- a) Vezessük le ezt az egyenletet, és állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes!
- b) Mutassuk ki, hogy a -hez képest kis érték eseten az egyensúlyi nyomás lineárisan változik a különbséggel!
Megoldás
a) Két fázis egyensúlyának szükséges feltételei, hogy
és
A harmadik feltételből adódik, hogy az egyensúlyi görbén elmozdulva
azaz a teljes differenciálok megegyeznek:
A kémiai potenciálra érvényes differenciális összefüggéseket behelyettesítve:
A Clausius-Clapeyron egyenlet:
Az átalakulás állandó hőmérsékleten megy végbe, így az entrópiaváltozás egyszerűen kifejezhető a redukált hővel, a Clapeyron-egyenletet nyerjük:
Ezt változószétválasztás után és szerint kiintegrálva szilárd-folyadék fázisátmenetre, feltéve, hogy és sem függ a hőmérséklettől:
b) Ha , alkalmazhatjuk közelítést: