„Termodinamika példák - Vákuum” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
|||
| (egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 6. sor: | 6. sor: | ||
| tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | | tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | ||
| gyaksorszám = 1 | | gyaksorszám = 1 | ||
| − | |||
| témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | | témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | ||
| − | | | + | | rövid = Kinetikus gázelmélet, transzport |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Legfeljebb mekkora lehet az $1\,\mathrm{l}$ térfogatú, gömb alakú edényben lévő $300\,\mathrm{K}$-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője $2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$p<0, | + | </noinclude><wlatex># Legfeljebb mekkora lehet az $1\,\mathrm{l}$ térfogatú, gömb alakú edényben lévő $300\,\mathrm{K}$-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője $2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$p<\frac{kT}{2\sqrt{2}\, R \, d^2\pi}=0{,}188\,\mathrm{Pa},$$ ahol $R$ az $1\,\mathrm{l}$-es tartály sugara.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>Az átlagos szabad úthossz |
| + | $$ \langle l \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}\, n_V \sigma}, $$ | ||
| + | ahol $\sigma$ a részecskék ütközési hatáskeresztmetszete, $n_V$ pedig a gáz molekulaszám-sűrűsége. Klasszikus kinetikus modellben a szórási hatáskeresztmetszetet a molekulák, mint „kemény gömbök” vetületi területével adjuk meg, amit a $d$ molekulaátmérővel fejezhetünk ki: | ||
| + | $$ \sigma = d^2 \pi. $$ | ||
| + | Az ideális gáz $pV=NkT$ állapotegyenletéből meghatározhatjuk a molekulaszám-sűrűséget: | ||
| + | $$ n_V = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}. $$ | ||
| + | |||
| + | A $ 2R < \langle l \rangle $ feltétel az átlagos szabad úthosszban szereplő mennyiségeket behelyettesítve: | ||
| + | $$ 2R < \frac{kT}{\sqrt{2}\, p \, d^2\pi}, $$ | ||
| + | amiből átrendezéssel a nyomás: | ||
| + | $$ p < \frac{kT}{2\sqrt{2}\, R \, d^2\pi}. $$ | ||
| + | |||
| + | A megadott $R=\displaystyle\left(\frac{3 \cdot 1\,\mathrm{dm^3}}{4\pi}\right)^{1/3}\approx 0{,}062\,\mathrm{m}$, $k=1{,}38 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$, $T=300\,\mathrm{K}$ és $d=2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$ numerikus értékekkel $p<0{,}188\,\mathrm{Pa}$. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. április 26., 22:02-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kinetikus gázelmélet, transzport |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Legfeljebb mekkora lehet az
térfogatú, gömb alakú edényben lévő 
-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője 
.
Megoldás
Az átlagos szabad úthossz
![\[ \langle l \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}\, n_V \sigma}, \]](/images/math/9/6/8/968abed9f5d783ba1de1a0499fb8b170.png)
ahol 
a részecskék ütközési hatáskeresztmetszete, 
pedig a gáz molekulaszám-sűrűsége. Klasszikus kinetikus modellben a szórási hatáskeresztmetszetet a molekulák, mint „kemény gömbök” vetületi területével adjuk meg, amit a 
molekulaátmérővel fejezhetünk ki:
![\[ \sigma = d^2 \pi. \]](/images/math/c/2/2/c224eeccfeb0354f9a5e3b7f5000a234.png)
Az ideális gáz 
állapotegyenletéből meghatározhatjuk a molekulaszám-sűrűséget:
![\[ n_V = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}. \]](/images/math/c/1/a/c1a40043f09c0af59b72b95d836aead7.png)
A 
feltétel az átlagos szabad úthosszban szereplő mennyiségeket behelyettesítve:
![\[ 2R < \frac{kT}{\sqrt{2}\, p \, d^2\pi}, \]](/images/math/b/7/2/b72c107c84fbe2cc19a3371601fbdd24.png)
amiből átrendezéssel a nyomás:
![\[ p < \frac{kT}{2\sqrt{2}\, R \, d^2\pi}. \]](/images/math/f/b/f/fbff4805161646aaaaa2dac2526147af.png)
A megadott 
, 
, 
és 
numerikus értékekkel 
.
