„Magnetosztatika példák - Áramkörbe kapcsolt vezetékpárra ható erő” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Magnetosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
|||
36. sor: | 36. sor: | ||
$$F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}$$ | $$F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}$$ | ||
− | Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából tudjuk, hogy két $a$ sugarú, egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos vezető henger, melyre $U$ feszültséget kapcsolunk, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik henger egységnyi hosszán $\lambda$ míg a másik hengeren $-\lambda$ töltés jelenik meg. Az | + | Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából tudjuk, hogy két $a$ sugarú, egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos vezető henger, melyre $U$ feszültséget kapcsolunk, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik henger egységnyi hosszán $\lambda$ míg a másik hengeren $-\lambda$ töltés jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor $l$ hosszán mérhető kapacitás: |
$$C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ | $$C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ | ||
44. sor: | 44. sor: | ||
$$\lambda=\dfrac{Q}{l}=\dfrac{CU}{l}=\dfrac{\pi \varepsilon_0 U}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ | $$\lambda=\dfrac{Q}{l}=\dfrac{CU}{l}=\dfrac{\pi \varepsilon_0 U}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ | ||
− | Az első hengeren megjelenő $\lambda$ töltéssűrűség elektromos terét a | + | Az első hengeren megjelenő $\lambda$ töltéssűrűség elektromos terét a [[Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.|Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.]] feladatát segítségül hívva határozhatjuk meg. Eszerint végtelen hosszú, $\lambda$ lineáris töltéssűrűséggel ellátott vonalvezető elektromos tere a vonalvezető tengelyétől sugárirányban kifelé mutat, nagysága a tengelytől mért $r$ távolságtól a következőképp függ: |
$$E_{(r)}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$ | $$E_{(r)}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$ |
A lap 2013. július 15., 13:33-kori változata
Feladat
- Két egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású, hosszú egyenes vezeték egyik végéhez ellenállást, másik végéhez telepet csatlakoztatunk. A hengeres vezetékek sugara , tengelyük távolsága . () Mekkora ellenállásnál lesz a vezetékre ható eredő erő zérus?
Megoldás
Lássuk, milyen erők hatnak a vezetékpárra. Mivel ez egyik érben a fogyasztó felé, a másikban pedig a telep felé folyik áram, egymásra taszító hatású Lorentz erőt fejtenek ki.
Másfelől a vezetékek egyenként ekvipotenciálisak, hiszen ideális vezetők, de az ellenálláson eső feszültség miatt a két henger eltérő potenciálon van. A párhuzamos hengerek között tehát elektromos tér is mérhető, mely szükségszerűen feltételez pozitív illetve negatív töltésfelhalmozódást a hengerek felületén. Ezen ellentétes töltések a Coulomb törvény értelmében vonzzák egymást.
Mivel mind a töltésfelhalmozódás mértéke, mind pedig a vezetékekben folyó áram nagysága függ a vezetékpárra kapcsolt ellenállás mértékétől, elképzelhető, hogy az ellenállás helyes megválasztásával a Coulomb és a Lorentz erők kiolthatják egymást.
Kapcsoljunk feszültséget a rendszerre. Ekkor a vezetékekben:
áram folyik. A 6. feladatsor 2. feladatából tudjuk, hogy a végtelen, áramjárta vezetők tengelyüktől távolságra:
mágneses teret keltenek. ez a tér örvényesen veszi körül a vezetéket. Ezek alapján az egyik vezeték a másik vezeték helyén:
mágneses teret indukál, melyet a második vezeték teljes keresztmetszete mentén homogénnek tekintünk. (megtehetjük, hiszen ) Ebben az erőtérben a második vezető hosszára ható Lorentz erő:
Belátható, hogy ennek iránya a másik vezetőtől eltaszító mutat, nagysága pedig a vektorok ortogonalitása miatt:
Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából tudjuk, hogy két sugarú, egymástól távolságra levő párhuzamos vezető henger, melyre feszültséget kapcsolunk, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik henger egységnyi hosszán míg a másik hengeren töltés jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor hosszán mérhető kapacitás:
Ebből meghatározható a fegyverzeteken megjelenő lineáris töltéssűrűség nagysága, ha a potenciálkülönbség :
Az első hengeren megjelenő töltéssűrűség elektromos terét a Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2. feladatát segítségül hívva határozhatjuk meg. Eszerint végtelen hosszú, lineáris töltéssűrűséggel ellátott vonalvezető elektromos tere a vonalvezető tengelyétől sugárirányban kifelé mutat, nagysága a tengelytől mért távolságtól a következőképp függ:
Eszerint a jelen feladatban szereplő töltéssűrűségű első henger a második henger helyén:
teret kelt. Feltételezzük, hogy a második henger tengelyének kicsiny környezetén belül az első henger által keltett tér homogénnek tekinthető. Tehát a második henger hosszúságú, töltéssűrűségű darabjára:
Coulomb erő hat. A feladat, hogy megtaláljuk azt az ellenállást, melyet a vezetékpár végére kötve a Coulomb-féle vonzóerő és a Lorentz-féle taszító erő épp kioltják egymást, függetlenül attól, mekkora feszültséggel hajtjuk meg az áramkört. Az erőegyensúly feltétele:
Behelyettesítve az erőket a megadott mennyiségekkel kifejező összefüggéseket, az alábbi egyenletet kapjuk:
Az egyenletet megoldva -re, megkapjuk a kérdéses ellenállást:
Megjegyzés: Igen tetszetős, hogy a megoldásban megjelent az ún. vákuumimpedancia: . E szép univerzális konstans csak egy dimenziótlan, pusztán geometriai paraméterektől függő faktorral van megszorozva.