„Magnetosztatika példák - Áramkörbe kapcsolt vezetékpárra ható erő” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
$$F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}$$ | $$F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}$$ | ||
− | Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából tudjuk, hogy két $a$ sugarú, egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos vezető hengernek van véges kapacitása és, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik | + | Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából tudjuk, hogy két $a$ sugarú, egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos vezető hengernek van véges kapacitása és, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik hengeren $\lambda$ míg a másik hengeren $-\lambda$ lineáris töltéssűrűség jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor $l$ hosszán mérhető kapacitás: |
$$C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ | $$C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}$$ |
A lap jelenlegi, 2021. április 12., 11:54-kori változata
Feladat
- Két egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású, hosszú egyenes vezeték egyik végéhez
ellenállást, másik végéhez telepet csatlakoztatunk. A hengeres vezetékek sugara
, tengelyük távolsága
. (
) Mekkora
ellenállásnál lesz a vezetékre ható eredő erő zérus?
Megoldás
Lássuk, milyen erők hatnak a vezetékpárra. Mivel ez egyik érben a fogyasztó felé, a másikban pedig a telep felé folyik áram, egymásra taszító hatású Lorentz erőt fejtenek ki.
Másfelől a vezetékek egyenként ekvipotenciálisak, hiszen ideális vezetők, de az ellenálláson eső feszültség miatt a két henger eltérő potenciálon van. A párhuzamos hengerek között tehát elektromos tér is mérhető, mely szükségszerűen feltételez pozitív illetve negatív töltésfelhalmozódást a hengerek felületén. Ezen ellentétes töltések a Coulomb törvény értelmében vonzzák egymást.
Mivel mind a töltésfelhalmozódás mértéke, mind pedig a vezetékekben folyó áram nagysága függ a vezetékpárra kapcsolt
ellenállás mértékétől, elképzelhető, hogy az ellenállás helyes megválasztásával a Coulomb és a Lorentz erők kiolthatják egymást.
Kapcsoljunk feszültséget a rendszerre. Ekkor a vezetékekben:
![\[I=\dfrac{U}{R}\]](/images/math/2/c/2/2c209e03d32f73c6aaf715ba26cecbaa.png)
áram folyik. A 6. feladatsor 2. feladatából tudjuk, hogy a végtelen, áramjárta vezetők tengelyüktől távolságra:
![\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]](/images/math/4/9/8/49825c8d7f84ad881fbe5689cc0d5946.png)
mágneses teret hoz létre. ez a tér örvényesen veszi körül a vezetéket. Ezek alapján az egyik vezeték a másik vezeték helyén:
![\[B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\]](/images/math/b/4/8/b485b9f390234fece7049fe5ed5336b5.png)
mágneses teret indukál, melyet a második vezeték teljes keresztmetszete mentén homogénnek tekintünk. (megtehetjük, hiszen ) Ebben az erőtérben a második vezető
hosszára ható Lorentz erő:
![\[\vec{F_{Lor}}=I(\vec{l}\times \vec{B})\]](/images/math/b/5/c/b5cda4c790980e1c9620c95820628f25.png)
Belátható, hogy ennek iránya a másik vezetőtől eltaszító mutat, nagysága pedig a vektorok ortogonalitása miatt:
![\[F_{Lor}=IBl=\dfrac{\mu_0 I^2 l}{2\pi b}=\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}\]](/images/math/1/2/f/12fe19fb3f18bc7742f8c9c68528c0f1.png)
Nézzük most a Coulomb kölcsönhatást! A Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása megoldásából tudjuk, hogy két sugarú, egymástól
távolságra levő párhuzamos vezető hengernek van véges kapacitása és, kondenzátorként viselkedik. Ennek értelmében az egyik hengeren
míg a másik hengeren
lineáris töltéssűrűség jelenik meg. Az említett feladat megoldása szerint ezen párhuzamos vezetékekből összeállított kondenzátor
hosszán mérhető kapacitás:
![\[C=\dfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]](/images/math/b/a/e/bae686027a7860f13dc81b5eb6537dc5.png)
Ebből meghatározható a fegyverzeteken megjelenő lineáris töltéssűrűség nagysága, ha a potenciálkülönbség
:
![\[\lambda=\dfrac{Q}{l}=\dfrac{CU}{l}=\dfrac{\pi \varepsilon_0 U}{\ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]](/images/math/c/b/d/cbd8c51382c375f1d5d8e5dfae67cfa7.png)
Az első hengeren megjelenő töltéssűrűség elektromos terét a Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2. feladatát segítségül hívva határozhatjuk meg. Eszerint végtelen hosszú,
lineáris töltéssűrűséggel ellátott vonalvezető elektromos tere a vonalvezető tengelyétől sugárirányban kifelé mutat, nagysága a tengelytől mért
távolságtól a következőképp függ:
![\[E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]](/images/math/9/1/3/913a67f5651717ae87de37de7cfd695d.png)
Eszerint a jelen feladatban szereplő töltéssűrűségű első henger a második henger helyén:
![\[E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 b}=\dfrac{ U}{2b \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]](/images/math/a/9/1/a91dece08bfb2ac9619962fd5fc9b8cd.png)
teret kelt. Feltételezzük, hogy a második henger tengelyének kicsiny környezetén belül az első henger által keltett tér homogénnek tekinthető. Tehát a második henger
hosszúságú,
töltéssűrűségű darabjára:
![\[F_{Cou}=QE=-\lambda l E=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]](/images/math/9/2/a/92a7519fe886435cb34d5ab4c00b0394.png)
Coulomb erő hat. A feladat, hogy megtaláljuk azt az ellenállást, melyet a vezetékpár végére kötve a Coulomb-féle vonzóerő és a Lorentz-féle taszító erő épp kioltják egymást, függetlenül attól, mekkora feszültséggel hajtjuk meg az áramkört. Az erőegyensúly feltétele:
![\[0=F_{Lor}+F_{Cou}\]](/images/math/e/c/6/ec6a6d6a5e9bf5a8b46d32bac31c4d02.png)
Behelyettesítve az erőket a megadott mennyiségekkel kifejező összefüggéseket, az alábbi egyenletet kapjuk:
![\[\dfrac{\mu_0 U^2 l}{2\pi R^2 b}=-\dfrac{\pi \varepsilon_0 lU^2}{2b\ln^2 \left( \dfrac{b-a}{a} \right)}\]](/images/math/9/5/1/9512c7f6025957693fb619e547c6a64a.png)
Az egyenletet megoldva -re, megkapjuk a kérdéses ellenállást:
![\[R=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{ \dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0} } \ln \left( \dfrac{b-a}{a} \right) \]](/images/math/d/d/2/dd2b526116ec1a2563c1a54035b2c5f4.png)
Megjegyzés: Igen tetszetős, hogy a megoldásban megjelent az ún. vákuumimpedancia: . E szép univerzális konstans csak egy dimenziótlan, pusztán geometriai paraméterektől függő faktorral van megszorozva.