Termodinamika - Fázisátalakulások

Feladatok

1. Mutassuk meg, hogy mechanikai- és termikus kölcsönhatásban részt vevő rendszerben állandó nyomáson végbemenő fázisátalakulásnál az átalakulási hő ($\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) az entalpiaváltozással ($\setbox0\hbox{$\Delta H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) egyenlő!
   Útmutatás

   Használjuk az entalpia definícióját és az első főtételt!
   Megoldás
   
   
2. Mennyivel változik meg $\setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nitrogéngáz entrópiája, ha állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_1=1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról $\setbox0\hbox{$V_2=5\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatra expandáltatjuk.
   Végeredmény

   $\[\Delta S=\frac{m}{\mu_\mathrm{N_2}}C_p\ln\frac{V_2}{V_1}=3{,}34\,\mathrm{\frac{J}{K}}, \qquad C_p=\frac72R.\]$
   Megoldás
   
   

Termodinamika példák - Víz termodinamikai potenciáljai elforraláskor

Megoldás

1. Henger alakú edényben $\setbox0\hbox{$T_f=100\,\mathrm{\,^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű telített vízgőz van. Egy súlytalan dugattyú lassú betolásának hatására az edényben $\setbox0\hbox{$\Delta m=0{,}7\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ víz lecsapódik. A víz moláris tömege $\setbox0\hbox{$18{,}01528\mathrm{\frac{g}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ A folyamat során a nyomás a $\setbox0\hbox{$p_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ külső légnyomással egyenlő.
   Mennyi munkát végeztünk ezalatt az ideális gáznak tekinthető vízgőzön?
   Végeredmény

   $\[\Delta W=p_k\left(V_1-V_2\right)=\frac{RT_f}{M}\Delta m=120\,\mathrm{J}\]$
   Megoldás
   
   
2. Felhasználva, hogy az olvadáspont az állandó nyomáson felvett $\setbox0\hbox{$\mu_p-T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramban a szilárd fázisra és a folyadékra érvényes görbék metszéspontjánál van mutassuk ki, hogy a nyomás növelésekor az olvadáspont nő, ha a szilárd fázis móltérfogata kisebb, mint a folyadéké! Hogyan változik a jég olvadáspontja, a nyomás növelésekor?
   Útmutatás

   A nyomásváltozás a $\setbox0\hbox{$\mu_p-T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ görbét eltolja, mégpedig a két fázisban általában különbözőképpen. A görbe eltolódásának mértékét adott hőmérsékleten, adott fázisban a

   $\[\left(\frac{\partial \mu }{\partial p}\right)_T= V_M\]$

   összefüggés adja meg.
   Megoldás
   
   
3. A szilárd-folyadék egyensúlyi görbének (olvadási görbe) közelítő meghatározására gyakran használják a $\setbox0\hbox{$\displaystyle p= p_1+\frac{L_M^{\text{olv}}}{\Delta V_M^{\text{olv}}}\ln \frac T{T_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést ($\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson érvényes olvadáspont, az egyenletben szereplő $\setbox0\hbox{$L_M^{\text{olv}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az anyag moláris átalakulási hője (vagy moláris entalpiaváltozása), $\setbox0\hbox{$\Delta V_M^{\text{olv}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a móltérfogat változása az olvadásnál).
   • a) Vezessük le ezt az egyenletet, és állapítsuk meg, hogy milyen feltételek mellett érvényes!
     Útmutatás

     Integráljuk a Clausius-Clapeyron-egyenletet!
   • b) Mutassuk ki, hogy a $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-hez képest kis $\setbox0\hbox{$T-T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ érték eseten az egyensúlyi nyomás lineárisan változik a $\setbox0\hbox{$T-T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ különbséggel!
     Útmutatás

     Használjuk fel a kis $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ekre érvényes $\setbox0\hbox{$\ln \left(1+x\right)\approx x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést.
     Megoldás
     
     
4. Ha a nyomást $\setbox0\hbox{$\Delta p=0{,}1\,\mathrm{bar}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ral megnöveljük, akkor a víz forrási hőmérséklete $\setbox0\hbox{$\Delta T\approx 2{,}8\,\mathrm{\,^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-kal növekszik. Ennek felhasználásával becsüljük meg a víz forráshőjét!
   Útmutatás

   A vízgőzre alkalmazzuk az ideális gáz egyenletét, és hanyagoljuk el a víz fajlagos térfogatát a gőzéhez képest!
   Végeredmény

   $\[L_f\approx \frac{\Delta p}{\Delta T}\frac{RT^2}{p_kM}=2253\,\mathrm{\frac{kJ}{kg}}\]$
   Megoldás
   
   
5. A szilárd argon $\setbox0\hbox{$p_0=1\,\mathrm{bar}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson $\setbox0\hbox{$ T_0=83\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten olvad meg. Olvadáshője ekkor $\setbox0\hbox{$L_M^\text{olv}=1176\,\mathrm{\frac{J}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, móltérfogatának változása $\setbox0\hbox{$\Delta V_{M0}=3{,}5\,\mathrm{\frac{cm^3}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A nyomás növekedésekor kísérleti eredmények szerint az olvadáshő nem változik, a $\setbox0\hbox{$\Delta V_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ móltérfogatváltozás viszont az abszolút hőmérséklet megközelítőleg $\setbox0\hbox{$3/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik hatványával arányos.
   Mekkora nyomást kell alkalmaznunk ahhoz, hogy az olvadási hőmérséklet megkétszereződjék?
   Útmutatás

   A $\setbox0\hbox{$\Delta v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletfüggésének figyelembevételével integráljuk a Clausius-Clapeyron-egyenletet!
   Végeredmény

   $\[p=p_0+\frac{2L}{3\Delta v_0}\left(1-\left(\frac{T_0}{T}\right)^{3/2}\right)=1449\,\mathrm{bar}\]$
   Megoldás
   
   
6. $\setbox0\hbox{$0{,}2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vasat hőszigetelt kaloriméterben lévő, $\setbox0\hbox{$0{,}5\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$12\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os vízbe teszünk. A vas fajhője $\setbox0\hbox{$c_1=0{,}46\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a vízé $\setbox0\hbox{$c_2=4{,}18\cdot {10}^3\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mennyi az entrópiaváltozás a hőmérséklet kiegyenlítődése miatt, ha a nyomás állandó?
   Végeredmény

   $\[T_k=288{,}7\,\mathrm{K},\qquad \Delta S=3{,}41\,\mathrm{\frac{J}{K}}\]$
   Megoldás
   
   
7. Egy homogén anyag adott hőmérsékleten két fázisban ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) létezhet. Az egyes fázisok moláris szabad energiáinak térfogattól való függése (rögzített hőmérsékleten, állandó anyagmennyiség esetén) az ábrán látható.
   Mutassuk ki, hogy egyensúlyi állapotban a fázisok $\setbox0\hbox{$V_a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatai a két görbéhez húzott közös érintő érintési pontjainak abszcisszái, a közös nyomás pedig az érintő negatív iránytangense!
   
   Útmutatás

   fejezzük ki a nyomást és a kémiai potenciált a szabad energiával ($\setbox0\hbox{$p=-\partial F/\partial V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ill. $\setbox0\hbox{$\mu =\left(F+pV\right)/n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és használjuk ki, hogy fázisegyensúlyban a két fázis nyomása és kémiai potenciálja egyenlő!
   Megoldás