Magnetosztatika példák - B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében

Feladat

1. A mágneses indukció $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektorára merőleges sík $\setbox0\hbox{$\mu_{r1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mu_{r2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív permeabilitású anyagokat választ el egymástól. Tekintsünk egy hengert, melynek $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű körlapjai párhuzamosak a határfelülettel! Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukció és a $\setbox0\hbox{$\vec{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses térerősség fluxusát erre a hengerre!
   

Megoldás

Természettörvény hogy a mágneses indukció zárt felületre vett fluxusa mindig zérus.

$\[\Phi_B = \oint \vec{B} \vec{dA} = 0\]$

Ezért a mágneses indukció fluxusa a felületre:

$\[\Phi_B = 0.\]$

A mágneses térerősség a felületre szintén merőleges, de a határfeltételek szerint különbözik a két térrészben. A $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re kapott határfeltételből:

$\[\vec{H_1} = \frac{\vec{B}}{\mu_0 \mu_{r1}}\]$

$\[\vec{H_2} = \frac{\vec{B}}{\mu_0 \mu_{r2}}.\]$

A felületi integrálba csak a fedlapok adnak járulékot, mivel a hengerpaláston a tér merőleges a felület vektorára:

$\[\Phi_H = \oint \vec{H}\vec{dA}=-S H_1+S H_2 = \frac{S B}{\mu_0} \left(\frac{1}{\mu_{r2}}-\frac{1}{\mu_{r1}}\right).\]$