Magnetosztatika példák - Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
Feladat
- Egy
hosszúságú,
és
sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző
és
relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik
felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása?
Megoldás
Áramjárta vezető rendszer öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér
energiája között az alábbi összefüggés írható fel.
![\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/d/3/4/d3413dd5aa07af8f8fde0db6692eff68.png)
Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret.
Az Amper-féle gerjesztési törvényt használva megállapíthatjuk, hogy a hengerpalástokon ellentétes irányokban folyó áramok sem a belső henger belsejében, sem pedig a külső hengerpaláston kívül nem indukálhatnak mágneses teret.
Mágneses tér csak a két koaxiális vezető felület között található. Vegyük fel az ábrán látható zárt görbét, / sugarú kört/ és alkalmazzuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.
![\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}r\pi+H_{2}r\pi\]](/images/math/a/a/d/aad3fd11ed97f336ea858d3563bb0fe9.png)
Ahol és
a két közegben mérhető mágneses gerjesztés értéke. Kihasználva azt, hogy a mágneses indukció közeghatárra merőleges komponense folytonosan megy át a közeghatáron, a gerjesztési törvény az alábbiak szerint alakítható.
![\[I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}r\pi+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}r\pi\]](/images/math/8/4/2/8427f459166a5310e4ecceba474380bd.png)
Ebből kifejezhető a mágneses indukció:
![\[ B=\dfrac{\mu_{0}I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]](/images/math/3/4/4/344580cf3cb50db8f33fe5f82256fa9e.png)
A mágnes indukció ismeretében explicit módon kifejezhetőek a két közegben fellépő mágneses gerjesztés értékei a középvonaltól mért távolság függvényében:
![\[ H_{1}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]](/images/math/1/3/a/13a92e54c41d1d947680b4e7992bf517.png)
![\[ H_{2}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]](/images/math/5/e/a/5eade6b8b58c883ee0fe52188384fa92.png)
A fentiek ismeretében meghatározható a két térrész mágneses energia sűrűsége a függvényében.
![\[e_{1}=\dfrac{1}{2}H_{1}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}\mu_{2}^2}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]](/images/math/e/3/c/e3cf8963cad1bb619c43a36c4dcd0798.png)
![\[e_{2}=\dfrac{1}{2}H_{2}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}^2\mu_{2}}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]](/images/math/e/f/c/efcaf4bfca8f9561ccd2cd1e278a4d71.png)
Az energiasűrűséget a két hengerfelület közti térfogatra integrálva meghatározhatjuk a mágneses tér energiáját.
![\[ E_m=l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{0}^{\pi} e_{1}rd\varphi dr + l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{\pi}^{2\pi} e_{2}rd\varphi dr = l\pi \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} (e_{1}+e_{1})r dr\]](/images/math/7/1/c/71c0fd7056d8420955c809ef3e58ca31.png)
Behelyettesítve az és
energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk:
![\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{1}{r} dr \]](/images/math/d/1/0/d103c782b82c13c882a5fc6523ed22f2.png)
A mágneses tér energiája tehát:
![\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]](/images/math/2/c/c/2cce23a21a2869506e839892adec5b9c.png)
Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg.
![\[E_{m}= \dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}} =\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/a/1/2/a127ba22117284a6dd4d11e8aafbbea6.png)
Az önindukciós együttható:
![\[L= \dfrac{l\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]](/images/math/b/7/2/b720ba8b9d03318424802472b3da728c.png)