Magnetosztatika példák - Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$a\times b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú, téglalap alakú vezető keret síkjában az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú éllel párhuzamosan, attól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra elhelyezünk egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőt. Mekkora az egyenes vezető és a vezető keret közti kölcsönös induktivitás?

Megoldás

Folyjon $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram a végtelen hosszú egyenes vezetőben. Ennek mágneses terét a hely függvényében könnyen meghatározhatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével:

$\[B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]$

Határozzuk meg a végtelen vezető által keltett $\setbox0\hbox{$B(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukció téglalap alakú keret által határolt fluxusát:

$\[\phi=\int{}BdA=a\int_{d}^{d+b}B(r)dr=\dfrac{\mu_0 aI}{2\pi}\int_{d}^{d+b}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 aI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d+b}{d} \right)\]$

Ez alapján a kölcsönös indukció:

$\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 a}{2\pi} ln \left( \dfrac{d+b}{d} \right)\]$