Magnetosztatika példák - Koncentrikus körvezetők öninduktivitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú körvezetővel azonos síkban koncentrikusan helyezkedik el egy \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú körvezető. Feltéve, hogy \setbox0\hbox{$a>>b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, mekkora a kölcsönös induktivitás?

Megoldás


Folyjon \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram a nagyobbik, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hurokban. Ennek mágneses tere a kör középpontjában kiszámítható a Biot-Savart törvény segítségével. Először vegyünk egy \setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú ívdarabot, melynek hosszát a hozzá tartozó infinitezimális középponti szög segítségével fejezünk ki:

\[dl=ad\varphi\]

Ezen ívdarab által a kör középpontjában keltett \setbox0\hbox{$dB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukció járuléka a Biot-Savart törvény alapján a következő, kihasználva azt a tényt, hogy az érintő irányú ívdarab merőleges a kör sugarára:

\[dB=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{dl}{a^2}=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{d\varphi}{a}\]

Tudván, hogy a körív infinitezimális elemei által a középpontban keltett indukció járulékok iránya merőleges a kör síkjára, a teljes körív által keltett \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukciót egyszerűen kiszámíthatjuk:

\[B=\int{}dB=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}\int_{0}^{2pi}d\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}2\pi=\dfrac{\mu_0 I}{2 a}\]

Ezután feltételezzük, hogy a nagyobbik gyűrű középpontja körüli kicsiny \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú környezetben a mágneses indukció homogén. Így a \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú gyűrű által körülzárt mágneses tér fluxusa:

\[\Phi=b^2\pi B=\dfrac{\mu_0 \pi b^2 I }{2 a}\]

A kölcsönös indukció tehát:


\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 \pi b^2 }{2 a}\]