Magnetosztatika példák - Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus

Feladat

1. Végtelen kiterjedésű, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú lemez az 1. ábrának megfelelően $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú, $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú térben helyezkedik el. A lemez anyagának relatív permeabilitása balról jobbra lineárisan változik $\setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re.
   a) Határozzuk meg $\setbox0\hbox{$divH$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében!
   b) Mekkora a $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség fluxusa egy $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelyű hengerre, amelynek $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű alap és fedőköre $\setbox0\hbox{$x_1=a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2=3a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen van?
   
   

Megoldás

a) A mágneses indukció a közeghatárokon mindenütt merőlegesen halad át, ezért kijelenthetjük, hogy $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéke mindenütt egyforma. A mágneses térerősség értéke pedig:

$\[H(x)=\dfrac{B}{\mu_0\mu_x}\]$

Ismerve a mágneses permeabilitás helyfüggését:

$\[\mu_x=\mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1)\]$

Meghatározhatjuk a mágneses térerősséget:

$\[H(x)=\dfrac{B}{\mu_0\left( \mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1) \right)}\]$

Egydimenziós probléma esetén a mágneses térerősség divergenciája egyszerűen számítható:

$\[divH=\dfrac{dH}{dx}=-\dfrac{\dfrac{B(\mu_2-\mu_1)}{a\mu_0}}{\left( \mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1)\right)^2}\]$

b) A feladatban megadott henger egyik alaplapján a mágneses térerősség értéke:

$\[H(a/2)=\dfrac{B}{\mu_0\left( \mu_1+\dfrac{1}{2}(\mu_2-\mu_1) \right)}=\dfrac{2B}{\mu_0 (\mu_2+\mu_1)}\]$

Míg a másik alaplapon a mágneses térerősség egyszerűen:

$\[H(3a/2)=\dfrac{B}{\mu_0}\]$

Hiszen az már az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú lemezen kívül helyezkedik el. Ezek alapján a mágneses térerősség fluxusa:

$\[\Phi=\dfrac{SB}{\mu_0}\left( \dfrac{2}{\mu_1+\mu_2} -1\right)\]$