Magnetosztatika példák - Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$r_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$r_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző $\setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása?
   
   

Megoldás

Áramjárta vezető rendszer $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér $\setbox0\hbox{$E_{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiája között az alábbi összefüggés írható fel.

$\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]$

Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret. Az Amper-féle gerjesztési törvényt használva megállapíthatjuk, hogy a hengerpalástokon ellentétes irányokban folyó áramok sem a belső henger belsejében, sem pedig a külső hengerpaláston kívül nem indukálhatnak mágneses teret. Mágneses tér csak a két koaxiális vezető felület között található. Vegyük fel az ábrán látható zárt görbét, /$\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kört/ és alkalmazzuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.

$\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}r\pi+H_{2}r\pi\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$H_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$H_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két közegben mérhető mágneses gerjesztés értéke. Kihasználva azt, hogy a mágneses indukció közeghatárra merőleges komponense folytonosan megy át a közeghatáron, a gerjesztési törvény az alábbiak szerint alakítható.

$\[I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}r\pi+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}r\pi\]$

Ebből kifejezhető a mágneses indukció:

$\[ B=\dfrac{\mu_{0}I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]$

A mágnes indukció ismeretében explicit módon kifejezhetőek a két közegben fellépő mágneses gerjesztés értékei a középvonaltól mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében:

$\[ H_{1}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{2}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]$

$\[ H_{2}=\dfrac{I}{r\pi}\dfrac{\mu_{1}}{\mu_{1}+\mu_{2}} \]$

A fentiek ismeretében meghatározható a két térrész mágneses energia sűrűsége a $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében.

$\[e_{1}=\dfrac{1}{2}H_{1}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}\mu_{2}^2}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]$

$\[e_{2}=\dfrac{1}{2}H_{2}B=\dfrac{I^2\mu_{0}\mu_{1}^2\mu_{2}}{2\pi^2(\mu_{1}+\mu_{2})^2}\dfrac{1}{r^2}\]$

Az energiasűrűséget a két hengerfelület közti térfogatra integrálva meghatározhatjuk a mágneses tér energiáját.

$\[ E_m=l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{0}^{\pi} e_{1}rd\varphi dr + l\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \int\limits_{\pi}^{2\pi} e_{2}rd\varphi dr = l\pi \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} (e_{1}+e_{1})r dr\]$

Behelyettesítve az $\setbox0\hbox{$e_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$e_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk:

$\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{1}{r} dr \]$

A mágneses tér energiája tehát:

$\[E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]$

Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg.

$\[E_{m}= \dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}} =\dfrac{1}{2}LI^2\]$

Az önindukciós együttható:

$\[L= \dfrac{l\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]$