Magnetosztatika példák - Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
Feladat
- Mekkora az öninduktivitása az 1. ábrán vázolt
szélességű,
hosszúságú, egymástól
távolságra levő szalagpárnak, ha a szalagok közötti tér egyik felét
a másik felét
relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki? Tételezzük fel, hogy
Megoldás
Áramjárta vezető rendszer öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér
energiája között az alábbi összefüggés írható fel.
![\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/d/3/4/d3413dd5aa07af8f8fde0db6692eff68.png)
Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret.
A feltételnek köszönhetően az ellentétes irányokba folyó áramoktól átjárt szalagok igen közel vannak egymáshoz, tehát szalagokon kívüli térben indukált mágneses mező már nagyságrendileg
távolságban elhanyagolható értékű. Élhetünk tehát azzal a feltételezéssel, hogy mágneses indukció csak a két lemez közti térben található, valamint azzal, hogy a mágneses tér a két közegben homogén. Ezt kihasználva felvesszük a 2. ábra szerinti zárt görbét, és felírjuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.
2. ábra
![\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}\dfrac{D}{2}+H_{2}\dfrac{D}{2}\]](/images/math/7/2/d/72d2eb011a7569381907b63c891b917b.png)
Ahol és
a lemezek közti teret kitöltő, eltérő mágneses permeabilitású közegekben mérhető mágneses térerősség értékei. Tudjuk, hogy a közeghatáron az arra merőleges mágneses indukció folytonosan halad át, ezért a mágneses térerősség nagysága:
![\[ H_{1}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\]](/images/math/d/6/9/d6936ad27f9d52e10c21752f21632449.png)
![\[H_{2}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\]](/images/math/1/a/0/1a07807e0af4ddc1e37530446940755d.png)
Helyettesítsük be ezeket a gerjesztési törvénybe:
![\[ I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\dfrac{D}{2}+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\dfrac{D}{2}\]](/images/math/c/a/5/ca57921746002cb450b55d392270b8fb.png)
Ebből kifejezhetjük az ismeretlen mágneses indukciót:
![\[ B=\dfrac{2\mu_0 I}{D}\dfrac{\mu_1 \mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/3/7/a/37a59325ddaed095b0dbdf79d7d4b7ab.png)
Ezzel a mágneses térerősségek:
![\[ H_1=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/3/b/7/3b76a6e02cc524f7bd473f313422c27e.png)
![\[ H_2=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_1}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/e/3/e/e3ebfe186289add4f2f96c9a5e6b8432.png)
A lemezek közt található két közegben meghatározható a mágneses tér energiasűrűsége:
![\[e_1=\dfrac{1}{2}BH_1=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2 ^2}{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]](/images/math/7/2/1/72120c4c7541f06df4c6b112f7ea8d54.png)
![\[e_2=\dfrac{1}{2}BH_2=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1^2 \mu_2 }{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]](/images/math/c/a/3/ca3533fc1d98881e8af3c4c1a53877d6.png)
A tér mágneses energiája így:
![\[ E_m= \int \ edV=e_1 \dfrac{D}{2}ld+e_2 \dfrac{D}{2}ld\]](/images/math/8/5/8/8585bd7dac89184cd6f7ec3c51615089.png)
Behelyettesítve ebbe a fentebb meghatározott és
energiasűrűség értékeket megkapjuk a mágneses térben tárolt energiát.
![\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]](/images/math/a/1/5/a1538a29132c481d50e7786f1cf11173.png)
A tér energiája, és a rendszer öninduktivitása közötti összefüggést felírva az alábbi egyenletet kapjuk:
![\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}=\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/e/6/f/e6f2acc2f666236baecc25d4d2af3c52.png)
Mely alapján meghatározható az öninduktivitás:
![\[ L=\dfrac{ 2ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]](/images/math/3/b/9/3b927ac8777405a6971887687dfb2291.png)