Magnetosztatika példák - Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora az öninduktivitása két igen hosszú, párhuzamos, \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerből álló vezetőpár \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú darabjának, ha a vezetékek \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra vannak egymástól?

Megoldás


Az egyik hengeres vezetőben folyjon \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram a vezető tengelye mentén, míg a másik hengerben folyjon ugyanakkora, de ellentétes irányú áram. Az önindukció számításához szükség lesz az 1. ábrán besatírozott terület fluxusára. Egy \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram által átjárt vezeték körül a mágneses indukció nagysága az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen kiszámítható:

\[B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

Ennek fluxusa az \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú hengerek által közrezárt területen:

\[\phi=\int{}BdA=a\int_{R}^{d-R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi}\int_{R}^{d-R}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)\]

Ezzel megkaptuk a két vezeték által határolt térben az egyik vezeték által keltett fluxust. A rendszer szimmetriája miatt a másik vezeték fluxusjáruléka szintén \setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Könnyen belátható, hogy ezen két fluxusjárulék összeadódik, így az ábrán satírozott terület összes fluxusa:

\[\Phi=2\phi=\dfrac{\mu_0 lI}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)\]
KFGY2-8-10.png

Tehát a rendszer önindukciója:

\[L_1=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)\]

Megjegyzés: A fenti eredmény elhanyagolja a vezetékek belsejében mérhető mágneses tér önindukció-járulékát. A Tömör hengeres vezető öninduktivitása feladat megoldása alapján tudjuk, hogy egy \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú vezetékdarab belsejébe zárt tér által okozott önindukció:

\[L_2=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}\]

Ennek felhasználásával a jelenlegi feladat eredményét pontosíthatjuk, ha a kapott \setbox0\hbox{$L_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eredményhez hozzáadjuk a két vezeték belsejének indukció járulékát.

\[L=L_1+2L_2=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)+\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}\]