Magnetosztatika példák - Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Végtelen kiterjedésű, \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú lemez az 1. ábrának megfelelően \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú, \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% indukciójú térben helyezkedik el. A lemez anyagának relatív permeabilitása balról jobbra lineárisan változik \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ről \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re.
    a) Határozzuk meg \setbox0\hbox{$divH$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényében!
    b) Mekkora a \setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térerősség fluxusa egy \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyű hengerre, amelynek \setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% területű alap és fedőköre \setbox0\hbox{$x_1=a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$x_2=3a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyen van?
    KFGY2-8-2.png

Megoldás


a) A mágneses indukció a közeghatárokon mindenütt merőlegesen halad át, ezért kijelenthetjük, hogy \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke mindenütt egyforma. A mágneses térerősség értéke pedig:

\[H(x)=\dfrac{B}{\mu_0\mu_x}\]

Ismerve a mágneses permeabilitás helyfüggését:

\[\mu_x=\mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1)\]

Meghatározhatjuk a mágneses térerősséget:

\[H(x)=\dfrac{B}{\mu_0\left( \mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1) \right)}\]

Egydimenziós probléma esetén a mágneses térerősség divergenciája egyszerűen számítható:

\[divH=\dfrac{dH}{dx}=-\dfrac{\dfrac{B(\mu_2-\mu_1)}{a\mu_0}}{\left(  \mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1)\right)^2}\]

b) A feladatban megadott henger egyik alaplapján a mágneses térerősség értéke:

\[H(a/2)=\dfrac{B}{\mu_0\left( \mu_1+\dfrac{1}{2}(\mu_2-\mu_1) \right)}=\dfrac{2B}{\mu_0 (\mu_2+\mu_1)}\]

Míg a másik alaplapon a mágneses térerősség egyszerűen:

\[H(3a/2)=\dfrac{B}{\mu_0}\]

Hiszen az már az \setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vastagságú lemezen kívül helyezkedik el. Ezek alapján a mágneses térerősség fluxusa:


\[\Phi=\dfrac{SB}{\mu_0}\left( \dfrac{2}{\mu_1+\mu_2} -1\right)\]