Mechanika - Csillapodó gömbhullám

Feladat

1. (7.30.) Egy izotróp pontforrás $\setbox0\hbox{$f=1450\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú hullámokat bocsát ki. A forrástól $\setbox0\hbox{$r_1=5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re a közeg részecskéi $\setbox0\hbox{$A_1=50\,\rm{\mu m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdójú rezgést végeznek, $\setbox0\hbox{$r_2=10\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re pedig az amplitúdó $\setbox0\hbox{$A_2=\frac{A_1}3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Mennyi a hullám $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítási tényezője? Mennyi a $\setbox0\hbox{$v_{\text{max}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességamplitúdó a távolabbi pontban?

Megoldás

Csillapodás nélkül kétszeres távolságban fele akkora amplitúdót észlelnénk, de ennek csak a $\setbox0\hbox{$\frac23$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-át észleljük, tehát ez az arány tisztán a csillapodásnak köszönhető. Csillapodó esetben a hullámfüggvény általános alakja

$\[\Psi(r)=\Psi_0\frac{e^{-\mu r}}r\cos(kr),\]$

ebből

$\[e^{-\mu(r_2-r_1)}=\frac23,\]$

végül

$\[\mu=\frac{\ln1,5}{5\,\rm m}=0,08\,\rm{\frac1m}\]$

A sebességamplitúdó

$\[v_{\text{max}}=2\pi f\frac{A_1}3=15,2\,\rm{\frac{cm}s}\]$