Mechanika - Hullámfüggvény 2.

Feladat

1. (7.3.) Egy húron csillapítatlan transzverzális hullám terjed $\setbox0\hbox{$3\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel pozitív irányban. Amplitúdója $\setbox0\hbox{$8\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, frekvenciája $\setbox0\hbox{$0,5\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen levő részecske kitérése $\setbox0\hbox{$4\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és negatív irányban mozog. Mekkora a kitérése az $\setbox0\hbox{$x=4\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen levő részecskének $\setbox0\hbox{$t=2\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban?

Megoldás

Legyen a hullámfüggvény alakja

$\[y(x,t)=A\sin(\omega t-kx+\phi)\]$

. Az adatokból a periódusidő $\setbox0\hbox{$T=\frac1f=2\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hullámhossz pedig $\setbox0\hbox{$\lambda=\frac vf=6\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kezdeti és peremfeltétel

$\[y(0,0)=A\sin\phi=0,08\sin\phi=0,04\]$

, azaz $\setbox0\hbox{$\sin\phi=\frac12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ennek két különböző megoldása lehetséges, $\setbox0\hbox{$\phi=\frac{\pi}6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\phi=\frac{5\pi}6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mivel kezdetben a részecske negatív irányban mozog, ezért

$\[v_y=\dot y(x,t)=A\omega\cos(\omega t-kx+\phi)\]$

kezdetben az origóban negatív, azaz $\setbox0\hbox{$A\omega\cos\phi<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$\cos\phi<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ennek $\setbox0\hbox{$\phi=\frac{5\pi}6$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felel meg. Ezt és a periódusidőt felhasználva

$\[y(4,2)=y(4,0)=A\sin(0-\frac{2\pi}{\lambda}4+\frac{5\pi}6)=0,08\sin(\frac{5\pi}6-\frac{4\pi}3)=0,08\sin(-\frac{\pi}2)=-0,08\,\rm m=-8\,\rm{cm}\]$