Mechanika - Két transzverzális hullám

Feladat

1. (7.9.) Egy húr hosszirányában két transzverzális hullám fut végig. Mindkettő azonos $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciával és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amlitúdóval a pozitív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában halad. Az első hullám hatására egy, az origóban levő részecske a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban éppen az egyensúlyi helyzeten halad át a pozitív $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában. A második hullám egy negyed hullámhossz útkülönbséggel késik az elsőhöz képest. Adjuk meg a húr tetszés szerinti részecskéjének rezgési egyenletét! Mekkora a kitérés az $\setbox0\hbox{$x=\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen $\setbox0\hbox{$t=T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban?

Megoldás

Mindkét rezgéshez rendelhető hullámfügvény, és keressük az eredő hullámüggvényt. Az azonos frekvenciák miatt a hullámhosszak is azonosak (mivel a terjedési sebesség is közös), így a kérdés lényegében az eredő amplitúdó és kezdőfázis. A megadott kezdeti és peremfeltételhez az $\setbox0\hbox{$y=A\sin(\omega t-kx+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ általános alak illeszkedik a legegyszerűbben. Az első hullám esetében így a keződfázis $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a második esetében a negyedhullámú késés egy $\setbox0\hbox{$-\frac{\pi}2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdőfázisnak felel meg mindenhol a hullám mentén, tehát az origóban is. Ebben a pontban tekintve két azonos frekvenciájú harmonikus rezgést kell összeadni, például forgóvektoros ábrázolást alkalmazva. Mivel az amplitúdók azonosak és a két vektor merőleges, a vektorháromszögünk derékszögű és egyenlő szárú, így az eredő kezdőfázis $\setbox0\hbox{$-\frac{\pi}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az eredő amplitúdó pedig $\setbox0\hbox{$\sqrt2A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

$\[y(\lambda,T)=y(0,0)=\sqrt2A\sin\left(-\frac{\pi}4\right)=-A\]$