Mechanika - Mozgó hangvilla falnál

Feladat

1. (*7.19.) Egy $\setbox0\hbox{$1024\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú hangvillát $\setbox0\hbox{$1,5\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel közelítünk merőleges irányban egy sima fal felé. Hány lebegést észlel másodpercenként az az álló megfigyelő, aki távolabb a hangvillától annak pályaegyenesén van? Mit hall a hangvillát tartó személy? ($\setbox0\hbox{$c=330\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

A megfigyelő azért hall lebegést, mert hallja a távolodó hangvilla direkt hangját, és a visszavert hangját is. Ez utóbbi egy közeledő hangvilla hangjának felel meg, mert a hullám tükrözése sima falon azt jelenti, hogy a hangvillának van egy "tükörképe", amely ugyanúgy közeledik a falhoz, de annak másik oldalán. (Analóg módon elképzelhetünk egy tükröt és egy felé mozgó egyszínű fényforrást, de ebben az esetben a Doppler-képletek más alakban íhatók fel, mint hanghullámra.) A lebegés frekvenciája a két észlelt frekvencia különbsége, azaz

$\[f_L=f_0\left(\frac c{c-v}-\frac c{c+v}\right)=f_0\frac{2cv}{c^2-v^2}\approx f_0\frac{2v}c=9,309\,\rm{Hz}\]$

a közelítő alakból számolva, amely 4 tizedesjegyre megegyezik a pontos képletből számolhatóval, lévén a hangvilla sebessége kisebb, mint a hangsebesség $\setbox0\hbox{$0,5\,\%$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-a. A hangvillát tartó személy egyrészt az eredeti frekvencián hallja a hangot, másrészt mozgó megfigyelőként hallja a mozgó tükörképforrás hangját (mindkét mozgást a nyugvó levegőhöz kell viszonyítani), így az általa hallott lebegés frekvenciája

$\[f_{L2}=f_0\left(\frac{c+v}{c-v}-1\right)=f_0\frac{2v}{c-v}=9,352\,\rm{Hz}\]$