Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel

Feladat

1. Melegszik vagy lehűl az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideális gáz, ha a $\setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés ($\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

Megoldás

A termodinamika első főtételébe ($\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) behelyettesítve az $\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kétváltozós függvény teljes differenciálját:

$\[ \delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V + p\,\mathrm{d}V. \]$

Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve általánosan igaz, hogy

$\[ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T + \left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\,\mathrm{d}V. \]$

Az ideális gázra speciálisan a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző pályán kifejezhetjük a hőmérséklettel:

$\[ C n \,\mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} \,\mathrm{d}T. \]$

Az ideális gáz $\setbox0\hbox{$pV=nRT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotegyenletéből és a folyamatra jellemző $\setbox0\hbox{$p=\frac{k^2}{V^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja rendre

$\[ V = \frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}. \]$

Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy

$\[ C n \,\mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right) \,\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\,\mathrm{d}T, \]$

ahonnan a fajhő leolvasható:

$\[ C = C_V - R. \]$