„Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\ | + | </noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\mu_r$) $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap 2021. április 19., 14:46-kori változata
Feladat
- Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy
sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása 
) 
hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér?
Megoldás
Folyjon 
áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:
![\[j=\dfrac{I}{R^2\pi}\]](/images/math/4/f/1/4f1fce5c695e0396a6edf5ba68380f75.png)
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy 
sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:
![\[I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}\]](/images/math/f/5/2/f52bd7b37f6b680064f15078c67cfe22.png)
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}\]](/images/math/6/5/c/65c0031ef8c8070ae7196f33cdda2434.png)
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:
![\[I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)\]](/images/math/4/0/4/404aaafb3fccf9b02f6c7f17216e3c0b.png)
A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:
![\[H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/f/e/3/fe37424ffe6798b4c3227f62af6f7fd2.png)
A mágneses indukció pedig:
![\[B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/f/6/1/f6122407b37342efce263022edb1ed6f.png)
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az hosszúságú vezetékdarab belsejében:
![\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}\]](/images/math/c/4/3/c438ffe81e26be125841709e10a41f90.png)
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:
![\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}\]](/images/math/7/2/1/72118da80c69bc079f976d8be6a8a6fe.png)
