„Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Magnetosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)
 
(→‎Megoldás)
 
(2 szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (egyenletes árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}}
+
</noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\mu_r$) $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}}
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>
 
<wlatex>
−
Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor egyenletes árameloszlás esetén az áramsűrűség:
+
Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:
  
 
$$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$
 
$$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$
18. sor: 19. sor:
 
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy $r<R$ sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:
 
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy $r<R$ sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:
  
−
$$I_{(r)}=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}$$
+
$$I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}$$
  
 
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
 
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
  
  
−
$$I_{(r)}=\oint{}H_{(r)}dl$$
+
$$I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}$$
  
 
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:
 
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:
  
−
$$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H_{(r)}$$
+
$$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)$$
  
−
A mágneses tér helyfügése a vezeték belsejében tehát:
+
A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:
  
−
$$H_{(r)}=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$
+
$$H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$
  
 
A mágneses indukció pedig:
 
A mágneses indukció pedig:
  
−
$$B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r$$
+
$$B(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r I}{2\pi R^2}r$$
  
 
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az $l$ hosszúságú vezetékdarab belsejében:
 
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az $l$ hosszúságú vezetékdarab belsejében:
  
−
$$\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$
+
$$\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{4\pi}$$
  
 
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:
 
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:
  
−
$$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$
+
$$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0\mu_r l}{4\pi}$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2021. április 19., 14:47-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
Feladatok listája:
  1. B és H fluxusa mágneses anyag jelenlétében
  2. Változó relatív permeabilitású lemez körül a mágneses fluxus
  3. Toroid mágneses tere
  4. Vasmagos szolenoid mágneses tere
  5. Vasmagos szolenoid mágneses tere 2
  6. Szolenoid tekercs öninduktivitása
  7. Koaxiális kábel öninduktivitása
  8. Tömör hengeres vezető öninduktivitása
  9. Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása
  10. Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása
  11. Egyenes vezető és vezető keret közti kölcsönös induktivitás
  12. Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel
  13. Koncentrikus körvezetők öninduktivitása
  14. Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel
  15. Toroid tekercs légréses vasmaggal
  16. Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása \setbox0\hbox{$\mu_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér?

Megoldás


Folyjon \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:

\[j=\dfrac{I}{R^2\pi}\]

Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy \setbox0\hbox{$r<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:

\[I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}\]

Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:


\[I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}\]

A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:

\[I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)\]

A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:

\[H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r\]

A mágneses indukció pedig:

\[B(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r I}{2\pi R^2}r\]

A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú vezetékdarab belsejében:

\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{4\pi}\]

A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:

\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0\mu_r l}{4\pi}\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Magnetosztatika_példák_-_Tömör_hengeres_vezető_öninduktivitása&oldid=27356”