„Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel” változatai közötti eltérés
17. sor: | 17. sor: | ||
$$ c = c_V + \frac1n p \left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} $$ | $$ c = c_V + \frac1n p \left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} $$ | ||
A $p$ nyomáűs adott az $f(V)$ függvénykapcsolattal, még a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat kell ezzel kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből! | A $p$ nyomáűs adott az $f(V)$ függvénykapcsolattal, még a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat kell ezzel kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből! | ||
+ | $$ pV = nRT $$ | ||
+ | Innen küszöböljük ki a $p$ változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével: | ||
+ | $ f(V)V = nRT $ | ||
+ | Ebből $V$ csak implicit módon volna kifejezhető, ezért az eredeti derivált helyett | ||
+ | $\left[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}} = | ||
+ | \left\{\left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}\right}^{-1}$ | ||
+ | értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akko rés csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek és ''azonos pályára'' számítjuk őket.) | ||
+ | $$T=\frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}} = | ||
+ | \frac1{nR}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f\right).$$ | ||
+ | Ide behelyettesítve | ||
+ | $$ c = c_V + \frac{f}{n} \frac{nR}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f} $$ | ||
+ | adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása. | ||
+ | |||
+ | b) Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk $f(V)$ explicit alakját: | ||
+ | $$T=\frac{(a-bV)V}{nR}.$$ | ||
+ | Ennek a kifejezésnek $V^2$ negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg: | ||
+ | $$0=\left.\frac{\partial T}{\partial V}\right|_{V_m} = \left.\frac{a-2bV}{nR}\right|_{V_m} \qquad \Rightarrow \qquad V_m=\frac{a}{2b}.$$ | ||
+ | Innen a nyomás $p_m=f(V_m)=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2012. október 18., 12:38-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Ideális gáz állapotváltozását a síkon a összefüggés írja le.
- a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a összefüggés adja meg!
- b) Milyen , értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a egyenlet adja meg ( és ismert pozitív állandók)?
Megoldás
a) Egy tetszőleges folyamat során mérhető fajhő meghatározásához vissza kell nyúlnunk annak a közölt hőmennyiséggel adott definíciójához, ezt pedig az I. főtételből tudjuk számítani:
A nyomáűs adott az függvénykapcsolattal, még a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat kell ezzel kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből!
Innen küszöböljük ki a változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével: Ebből csak implicit módon volna kifejezhető, ezért az eredeti derivált helyett
LaTex syntax error\setbox0\hbox{$\left[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}} = \left\{\left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}\right}^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akko rés csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek és azonos pályára számítjuk őket.)
\[T=\frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}} = \frac1{nR}\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f\right).\]
Ide behelyettesítve
adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása.
b) Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk explicit alakját:
Ennek a kifejezésnek negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg:
Innen a nyomás .