„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött fémgömb árnyékolással potenciáltere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $d$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $R_{2}$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\omega$. <br> '''a)''' Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.<br>'''b)''' Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.<br>'''c)''' Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?<br>'''d)''' Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $E_{kr}$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük? | </noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $d$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $R_{2}$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\omega$. <br> '''a)''' Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.<br>'''b)''' Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.<br>'''c)''' Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?<br>'''d)''' Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $E_{kr}$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük? | ||
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt:}}{{Végeredmény|content= | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt:}}{{Végeredmény|content= '''a)''' A belső gömb:$$\vec{E}=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}$$ külső gömb: $$\vec{E}=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}$$ '''b)''' <br> 1: $r < R_{1}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ <br> 2: $R_{1} < r < R_{2}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 3: $R_{2} < r < R_{3}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ 4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 4.b: (földelet): $R_{3} < r $ <br> '''c)''' $$ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ '''d)''' $$ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ }} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. április 28., 18:16-kori változata
Feladat
- Egy sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője . Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége .
a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?
Megoldás
a) Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az sugarú gömb töltése akkor a külső gömb belső felületén , külső felületén pedig töltés jön létre.
A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:
A külső gömb külső sugara erre felírva a Gauss-tételt:
b) Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt:
1:
2:
3:
4.a: (földeletlen):
4.b: (földelet):
Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése legyen.
c) A gömbök közötti potenciálkülönbség:
d) A legnagyobb térerősség a belső gömbbe felszínén van:. Ezzel felírva a gömbök közötti potenciálkülönbséget:A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség: