„Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a |
|||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A | + | <wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]] bizonyítottuk, hogy |
+ | $$ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T | ||
+ | + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\,\mathrm{d}T,$$ | ||
+ | küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével ($p=nR\frac{T}{V}$), | ||
+ | $$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$ | ||
+ | és integráljunk az állapotváltozás vonalán: | ||
+ | $$ \frac{C-C_V}{R} \ln T = \ln V + \ln \mathrm{const.} $$ | ||
+ | |||
+ | Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez | ||
+ | $$ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$ | ||
+ | egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig | ||
+ | $$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} $$ | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzés == | ||
+ | Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel|következő feladatban]] bizonyítandó | ||
+ | $$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$ | ||
+ | öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó: | ||
+ | $$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A. $$ | ||
+ | |||
+ | A változókat szétválasztva és integrálva | ||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}p}{p} = A \frac{\mathrm{d}V}{V} $$ | ||
+ | $$ \ln \frac p{p_0} = A \ln \frac V{V_0} $$ | ||
+ | $$ p = p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$ | ||
+ | |||
+ | A bevezetett $A$ állandót kifejezhetjük a | ||
+ | $$ C(V) = C_V+\frac{R}{1+A} $$ | ||
+ | kiindulási egyenletből: | ||
+ | $$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$ | ||
+ | amivel szintén | ||
+ | $$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}} = \mathrm{const.} $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 2., 15:24-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.
Megoldás
Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatban bizonyítottuk, hogy
küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével (),
és integráljunk az állapotváltozás vonalán:
Mivel , ez
egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
Megjegyzés
Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:
A változókat szétválasztva és integrálva
A bevezetett állandót kifejezhetjük a
kiindulási egyenletből:
amivel szintén