„Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel” változatai közötti eltérés
a |
|||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Ideális gáz állapotváltozását a $p-V$ síkon a $p=f(V)$ összefüggés írja le.</wlatex> | </noinclude><wlatex># Ideális gáz állapotváltozását a $p-V$ síkon a $p=f(V)$ összefüggés írja le.</wlatex> | ||
− | #* a) <wlatex>Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a $$ | + | #* a) <wlatex>Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a $$c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}$$ összefüggés adja meg!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A fejhő definíciós egyenletébe írjuk be a megadott függvényt, használjuk az állapotegyenletet és alkalmazzuk a $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)^{-1}$$ összefüggést!}}</wlatex></includeonly> |
#* b) <wlatex>Milyen $p_m$, $V_m$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $p=a-bV$ egyenlet adja meg ($a$ és $b$ ismert pozitív állandók)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!}}{{Végeredmény|content=$$V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | #* b) <wlatex>Milyen $p_m$, $V_m$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $p=a-bV$ egyenlet adja meg ($a$ és $b$ ismert pozitív állandók)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!}}{{Végeredmény|content=$$V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>a) Egy ''tetszőleges folyamat'' során mérhető fajhő meghatározásához | + | <wlatex>'''a)''' Egy ''tetszőleges folyamat'' során mérhető fajhő meghatározásához annak a közölt hőmennyiséggel megadott $c\,n\,\mathrm{d}T = \delta Q$ definíciójából kell kiindulnunk, ami pedig az első főtételből számítható: |
$$ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V $$ | $$ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V $$ | ||
− | $$ c n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V $$ | + | $$ c\,n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V $$ |
− | $$ c = c_V + \ | + | $$ c = c_V + \frac{1}{n} \,p \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}. $$ |
− | A $p | + | |
+ | A nyomás a $p=f(V)$ függvénykapcsolattal adott, ezért a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat is ezzel kell kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből ($ pV = nRT $)! | ||
+ | Küszöböljük ki a $p$ változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével: | ||
+ | $$ f(V)V = nRT. $$ | ||
+ | Ebből $V$ csak implicit módon fejezhető ki, ezért az eredeti derivált helyett | ||
+ | $$ \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} | ||
+ | = \left[\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\right]^{-1}$$ | ||
+ | értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akkor és csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek, és ''azonos pályára'' számítjuk őket.) | ||
+ | $$ T = \frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} | ||
+ | = \frac{1}{nR} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V + f \right). $$ | ||
+ | Ezt behelyettesítve a fajhőképletbe | ||
+ | $$ c = c_V + \frac{f}{n} \frac{nR}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f} $$ | ||
+ | adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása. | ||
+ | |||
+ | '''b)''' Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk $f(V)$ explicit alakját: | ||
+ | $$ T = \frac{(a-bV)V}{nR}. $$ | ||
+ | Ennek a kifejezésnek $V^2$ negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg: | ||
+ | $$ 0 = \left.\frac{\partial T}{\partial V}\right|_{V_m} = \left.\frac{a-2bV}{nR}\right|_{V_m} \qquad \Rightarrow \qquad V_m = \frac{a}{2b}. $$ | ||
+ | A maximális hőmérséklethez tartozó nyomás pedig | ||
+ | $$ p_m = f(V_m) = a-\frac{a}{2} = \frac{a}{2}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 2., 15:41-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Ideális gáz állapotváltozását a síkon a összefüggés írja le.
- a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a összefüggés adja meg!
- b) Milyen , értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a egyenlet adja meg ( és ismert pozitív állandók)?
Megoldás
a) Egy tetszőleges folyamat során mérhető fajhő meghatározásához annak a közölt hőmennyiséggel megadott definíciójából kell kiindulnunk, ami pedig az első főtételből számítható:
A nyomás a függvénykapcsolattal adott, ezért a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat is ezzel kell kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből ()! Küszöböljük ki a változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével:
Ebből csak implicit módon fejezhető ki, ezért az eredeti derivált helyett
értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akkor és csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek, és azonos pályára számítjuk őket.)
Ezt behelyettesítve a fajhőképletbe
adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása.
b) Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk explicit alakját:
Ennek a kifejezésnek negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg:
A maximális hőmérséklethez tartozó nyomás pedig