„Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
| (2 szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}} | + | </noinclude><wlatex>#Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $R$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\mu_r$) $l$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}$$ $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
| − | Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor | + | Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága: |
$$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$ | $$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$ | ||
| 19. sor: | 19. sor: | ||
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy $r<R$ sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség: | Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy $r<R$ sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség: | ||
| − | $$ | + | $$I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}$$ |
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt: | Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt: | ||
| − | $$ | + | $$I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}$$ |
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk: | A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk: | ||
| − | $$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r | + | $$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)$$ |
| − | A mágneses tér helyfügése a vezeték belsejében tehát: | + | A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát: |
| − | $$ | + | $$H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$ |
A mágneses indukció pedig: | A mágneses indukció pedig: | ||
| − | $$ | + | $$B(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r I}{2\pi R^2}r$$ |
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az $l$ hosszúságú vezetékdarab belsejében: | A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az $l$ hosszúságú vezetékdarab belsejében: | ||
| − | $$\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R} | + | $$\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{4\pi}$$ |
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás: | A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás: | ||
| − | $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}$$ | + | $$L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0\mu_r l}{4\pi}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2021. április 19., 14:47-kori változata
Feladat
- Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy
sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása 
) 
hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér?
Megoldás
Folyjon 
áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:
![\[j=\dfrac{I}{R^2\pi}\]](/images/math/4/f/1/4f1fce5c695e0396a6edf5ba68380f75.png)
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy 
sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:
![\[I(r)=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}\]](/images/math/f/5/2/f52bd7b37f6b680064f15078c67cfe22.png)
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[I(r)=\oint{}\vec{H(r)} \vec{dl}\]](/images/math/6/5/c/65c0031ef8c8070ae7196f33cdda2434.png)
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:
![\[I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H(r)\]](/images/math/4/0/4/404aaafb3fccf9b02f6c7f17216e3c0b.png)
A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:
![\[H(r)=\dfrac{I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/f/e/3/fe37424ffe6798b4c3227f62af6f7fd2.png)
A mágneses indukció pedig:
![\[B(r)=\dfrac{\mu_0\mu_r I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/a/3/9/a39d50fa11eace577b61d3e94bd2f75f.png)
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az hosszúságú vezetékdarab belsejében:
![\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B(r)dr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0\mu_r l I}{4\pi}\]](/images/math/f/e/d/fed99373eb870717357d7d6777a533f9.png)
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:
![\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0\mu_r l}{4\pi}\]](/images/math/5/b/3/5b3b27ae792b1d6737553bedd3b14f52.png)
