„Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Melegszik vagy lehűl az $1\,\mathrm{mol}$ ideális gáz, ha a $V=k/\sqrt{p}$ összefüggés ($k$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $C_V$?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A fajhő általános definícióját használjuk, majd az állapotváltozás „pályáját” megadó egyenlet segítségével keressük meg a $V=V(T)$ függvényt és abból a $\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$ hányadost!}}{{Végeredmény|content=Lehűl, $$C=C_V-R$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</noinclude><wlatex># Melegszik vagy lehűl az $1\,\mathrm{mol}$ ideális gáz, ha a $V=k/\sqrt{p}$ összefüggés ($k$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $C_V$?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A fajhő általános definícióját használjuk, majd az állapotváltozás „pályáját” megadó egyenlet segítségével keressük meg a $V=V(T)$ függvényt és abból a $\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$ hányadost!}}{{Végeredmény|content=Lehűl, $$C=C_V-R$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>A termodinamika első főtétele szerint $$\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V,$$
+
<wlatex>A termodinamika első főtételébe ($\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V$) behelyettesítve az $U(T,V)$ kétváltozós függvény teljes differenciálját:
−
ahol a belső energiát a hőmérséklet és a térfogat függvényeként fogjuk fel ($U(T,V)$), ezzel:
+
$$ \delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T
−
$$\delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\mathrm{d}T+
+
    + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V + p\,\mathrm{d}V. $$
−
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\mathrm{d}V+ p\,\mathrm{d}V.$$
+
Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve ''általánosan'' igaz, hogy
−
Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve ''általánosan'' levezethető, hogy
+
$$ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T
−
$$C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+
+
    + \left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\,\mathrm{d}V. $$
−
\left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\mathrm{d}V.$$
+
Az ''ideális gázra speciálisan'' a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző pályán kifejezhetjük a hőmérséklettel:
−
Az ideális gázra speciálisan a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző pályán kifejezhetjük a hőmérséklettel:
+
$$ C n \,\mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T
−
$$C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+
+
    + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} \,\mathrm{d}T. $$
−
p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T.$$
+
Az ideális gáz $pV=nRT$ állapotegyenletéből és a folyamatra jellemző $p=\frac{k^2}{V^2}$ egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja rendre
−
Az ideális gáz $pV=nRT$ állapotegyenletéből és a folyamatot jellemző $p=\frac{k^2}{V^2}$ egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja számítható:
+
$$ V = \frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}. $$
−
$$V=\frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}$$
+
 
Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $C$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy
 
Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $C$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy
−
$$C n \mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right)\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\mathrm{d}T,$$
+
$$ C n \,\mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right) \,\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\,\mathrm{d}T, $$
 
ahonnan a fajhő leolvasható:
 
ahonnan a fajhő leolvasható:
 
$$ C = C_V - R. $$
 
$$ C = C_V - R. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 2., 14:24-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Melegszik vagy lehűl az \setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ideális gáz, ha a \setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés (\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője \setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%?

Megoldás

A termodinamika első főtételébe (\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) behelyettesítve az \setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kétváltozós függvény teljes differenciálját:

\[ \delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,\mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \,\mathrm{d}V + p\,\mathrm{d}V. \]

Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve általánosan igaz, hogy

\[ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T + \left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\,\mathrm{d}V. \]

Az ideális gázra speciálisan a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző pályán kifejezhetjük a hőmérséklettel:

\[ C n \,\mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} \,\mathrm{d}T. \]

Az ideális gáz \setbox0\hbox{$pV=nRT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotegyenletéből és a folyamatra jellemző \setbox0\hbox{$p=\frac{k^2}{V^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja rendre

\[ V = \frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}. \]

Ezt visszaírva a folyamatot jellemző \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy

\[ C n \,\mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right) \,\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\,\mathrm{d}T, \]

ahonnan a fajhő leolvasható:

\[ C = C_V - R. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Ideális_gáz_állapotváltozása_egyenlettel&oldid=9794”