„Mechanika - Relativisztikus Doppler mechanikai hullámra” változatai közötti eltérés

<wlatex>Nem-relativisztikus esetben a koordináta-transzformációk $$t=t'$$ $$x=x'+vt$$ Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a $t'$-vel és $x'$-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le: $$k'=k$$ $$\omega'=\omega-vk,$$, így a hullámhossz nem változik, a frekvencia és a terjedési sebesség viszont igen: $$f'=f\left(\frac{c^*-v}{c^*}\right)=f\left(1-\frac v{c^*}\right),$$ azaz mozgó megfigyelő esetén ez a Doppler-hatás eredménye az észlelt frekvenciára $$(c^*)'=c^*-v,$$ és $v>c^*$ esetben nem is észlelhető a hullámzás. Relativisztikus esetben a Lorentz-transzformáció képleteit kell alkalmazni: $$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$t=\frac{t'+\frac v{c^2}t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$ ahol $c$ a fénysebesség. Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a $t'$-vel és $x'$-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le: $$k'=\frac{k-\frac v{c^2}\omega}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{k(1-\frac{vc^*}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\omega'=\frac{\omega-kv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\omega(1-\frac v{c^*})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$ tehát az észlelt frekvencia és a hullámszám is más. Ezek következtében az észlelt terjedési sebesség $$(c^*)'=\frac{\omega'}{k'}=\frac{\omega(1-v/c^*)}{k(1-vc^*/c^2)}=c^*\frac{1-v/c^*}{1-vc^*/c^2}=\frac{c^*-v}{1-\frac{vc^*}{c^2}},$$ amely megfelel a relativisztikus sebességösszeadás szabályainak, és $v>c^*$ esetén továbbra sem észlelhető a hullámzás. Érdemes megjegyezni, hogy a $c^*=c$ esetben visszakapjuk az elektromágneses hullámokra érvényes Doppler-képleteket. Ha a forrásnak is megengedtünk volna mozgást, akkor még bonyolultabb relativisztikus összefüggés kapható rugalmas hullámokra. Ez kis sebességek esetén visszaadja a nem-relativisztikus összefüggést, másrészt $c^*=c$ esetben úgy alakul át, hogy csak a forrás és a megfigyelő relatív sebessége számít, ha azt a relativisztikus sebességöszeadás szerint határozzuk meg.