„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött fémgömb árnyékolással potenciáltere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $d$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $R_{2}$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\omega$. <br> '''a)''' Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.<br>'''b)''' Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.<br>'''c)''' Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?<br>'''d)''' Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $E_{kr}$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük? | </noinclude><wlatex>#Egy $R_{1}$ sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy $d$ falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője $R_{2}$. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége $\omega$. <br> '''a)''' Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.<br>'''b)''' Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.<br>'''c)''' Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?<br>'''d)''' Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha $E_{kr}$ dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük? | ||
− | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt:}}{{Végeredmény|content= | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az $R_{1}$ sugarú gömb töltése $Q$ akkor a külső gömb belső felületén $-Q$, külső felületén pedig $Q$ töltés jön létre.A különböző térrészekre írjuk fel a Gauss-tételt:}}{{Végeredmény|content= '''a)''' A belső gömb:$$\vec{E}=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}$$ külső gömb: $$\vec{E}=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}$$ '''b)''' <br> 1: $r < R_{1}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ <br> 2: $R_{1} < r < R_{2}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 3: $R_{2} < r < R_{3}$ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ 4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $ $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ 4.b: (földelet): $R_{3} < r $ <br> '''c)''' $$ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ '''d)''' $$ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]$$ }} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. április 28., 18:16-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy
falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője
. Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége
.
a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, hadielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?
Megoldás
a) Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az sugarú gömb töltése
akkor a külső gömb belső felületén
, külső felületén pedig
töltés jön létre.
A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]](/images/math/d/4/f/d4ffd4f93cd39d7bd400b1806a7031d6.png)
![\[\vec{E}=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/1/5/d/15d20a6021d6601490871e3c4ed48bf7.png)
A külső gömb külső sugara erre felírva a Gauss-tételt:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot R_{3}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi\]](/images/math/c/5/b/c5be4cc4273a050664788fee396e2ae2.png)
![\[\vec{E}=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}\]](/images/math/6/4/b/64b193f7e3326be3691062cb198b5bc7.png)
b) Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt:
1:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]](/images/math/7/a/f/7af4f60c44b4e29f0970f81e09988426.png)
2:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]](/images/math/6/b/e/6be977370516a5e807b6e7cb59f99c8e.png)
3:
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]](/images/math/7/a/f/7af4f60c44b4e29f0970f81e09988426.png)
4.a: (földeletlen):
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow \vec{E}= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\]](/images/math/6/b/e/6be977370516a5e807b6e7cb59f99c8e.png)
4.b: (földelet):
Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése legyen.
![\[\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0\]](/images/math/7/a/f/7af4f60c44b4e29f0970f81e09988426.png)
c) A gömbök közötti potenciálkülönbség:
![\[\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}\]](/images/math/d/1/0/d1097c917cad8837bf4aa770c19d7acf.png)
![\[ \Delta U = \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]](/images/math/f/4/c/f4c60dff9fba2256f157bc2e3afc28c9.png)
![\setbox0\hbox{$E_{max} = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/7/8/e7843a53509ac3676a93e92c8e6c33e6.png)
![\[ \Delta U = E_{max}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]](/images/math/2/6/4/264dc94494e0f534d43907a26211cc34.png)
A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség:
![\[ \Delta U = E_{kr}\cdot R_{1}^{2}\cdot [\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}]\]](/images/math/5/b/b/5bb8c30ad6998b0a96dd0fe6437d329e.png)