„Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok” változatai közötti eltérés

A lap 2019. október 16., 12:09-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája: Kinetikus gázelmélet, transzport Állapotváltozás, I. főtétel Fajhő, Körfolyamatok Entrópia, II. főtétel Homogén rendszerek Fázisátalakulások Kvantummechanikai bevezető
Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája: Id. g. állapotváltozása egyenlettel Id. g. állandó mólhőjű folyamatai Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel Id. g. körfolyamatai és munkája Id. g. egy körfolyamata izotermával Carnot-hűtőgép Id. g. egy körfolyamata adiabatával Id. g. körfolyamata: izob. és adiab. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Néhány fontos összefüggés

A Carnot-körfolyamat hatásfoka $\setbox0\hbox{$T_1<T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű hőtartályokkal

$\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2},$

a hőszivattyú teljesítménytényezője $\setbox0\hbox{$K_\text{hsz}=\frac1\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , a hűtőgép jósági tényezője $\setbox0\hbox{$K_\text{hg} = 1- \frac1\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ .

Az ábrának megfelelő folyamatokra a szokásos jelölésekkel:

	ΔQ_fel	ΔQ_le	ΔU	ΔW
izobár p=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\frac{C_p}{R}\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\frac{C_V}{R}\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle p_1\left(V_1-V_2\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
izochor V=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle V_1\frac{C_V}{R}\left(p_2-p_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle V_1\frac{C_V}{R}\left(p_2-p_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
izoterm T=const.	$\setbox0\hbox{$\displaystyle nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
adiabatikus S=const.	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	$\setbox0\hbox{$\displaystyle -\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Feladatok

Melegszik vagy lehűl az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideális gáz, ha a $\setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés ( $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ?
Útmutatás
A fajhő általános definícióját használjuk, majd az állapotváltozás „pályáját” megadó egyenlet segítségével keressük meg a $\setbox0\hbox{$V=V(T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt és abból a $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}V/\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hányadost!

Végeredmény
Lehűl,
$C=C_V-R$

Megoldás
Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.
Útmutatás
Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -re és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ -re kapott differenciálegyenletet.

Végeredmény
$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$

Megoldás
Ideális gáz állapotváltozását a síkon a összefüggés írja le.
- a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a
  $c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}$
  összefüggés adja meg!
  Útmutatás
  A fejhő definíciós egyenletébe írjuk be a megadott függvényt, használjuk az állapotegyenletet és alkalmazzuk a
  $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)^{-1}$
  összefüggést!
- b) Milyen $\setbox0\hbox{$p_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , $\setbox0\hbox{$V_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $\setbox0\hbox{$p=a-bV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenlet adja meg ( $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismert pozitív állandók)?
  Útmutatás
  Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!
  
  Végeredmény
  $V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}$
  
  Megoldás
Az első ábrán egy ideális gázzal végzett körfolyamat $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramja látható. Ábrázoljuk a folyamatot $\setbox0\hbox{$T-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T-p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramon!
A második ábrán egy ideális gázzal végzett körfolyamat $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagramja látható. Mekkora a gáz által végzett munka?
Végeredmény
$W=0.$

Megoldás
, nyomású kétatomos ideális gázt térfogatról állandó nyomáson térfogatúra nyomunk össze (az ábrán 1-es út). Ezen az állandó térfogaton eredeti hőmérsékletére melegítjük (2-es út), majd izotermikusan a kiinduló térfogatára tágítjuk (3-as út).
- a) Mennyivel változott a gáz belső energiája az 1-es úton?
  Végeredmény
  $\Delta U_1 = p_1 \frac{V_2-V_1}{\gamma-1}, \qquad \gamma=\frac75$
- b) Mennyivel hőt kellet közölnünk a gázzal a 2-es úton?
  Végeredmény
  $\Delta Q_2=-\Delta U_1$
- c) Mekkora a gáz által végzett munka és a gáz által felvett hő a teljes körfolyamatban?
  Végeredmény
  $\Delta W = \Delta Q = p(V_2-V_1)+p_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$
  
  Megoldás
Egy Carnot-hűtőgép egyik hőtartályában hőmérsékletű, forrásban lévő víz, a másikban hőmérsékletű víz van. A víz forráshője , a jég olvadáshője .
- a) Mennyi vizet kell az alsó hőtartályban $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű jéggé fagyasztani ahhoz, hogy a felső hőtartályban $\setbox0\hbox{$m_g=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű gőz keletkezzék?
  Végeredmény
  $m_j=(1-\eta)L_f m_g/L_o=49{,}16\,\mathrm{kg},$
  ahol $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körfolyamat hatásfoka.
- b) Mennyi külső munkát kell a körfolyamatba betáplálni?
  Végeredmény
  $W=\eta L_f m_g=6{,}03\cdot 10^5\,\mathrm{J},$
  ahol $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a körfolyamat hatásfoka.
  Megoldás
Az ábrán a $\setbox0\hbox{$T_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletekkel meghatározott körfolyamat látható. Mekkora annak a gépnek a hatásfoka, amelyik ezt a körfolyamatot mólnyi mennyiségű, adott $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyú ideális gázzal valósítja meg?
Végeredmény
$\eta=1-\gamma\frac{x^{1/gamma}-1}{x-1},$
ahol $\setbox0\hbox{$x=T_B/T_A.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
Megoldás
mólnyi ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A körfolymat két izobár és két adiabata szakaszból áll, amelyeket a , , és adatok határoznak meg (ez a gőzgép sémája).
- a) Mekkora a gőzgép hatásfoka?
- b) Hogyan függ a hatásfok attól, hogy hány atomos gázmolekulákkal végezzük a körfolyamatot?
- c) Az adott gépnél és az adott gáznál hogyan növelhető a hatásfok?
  Végeredmény
  a)
  $\eta=1-\left(\frac{p_A}{p_F}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.$
  
  b) A molekulák szabadsági fokának csökkentésével a hatásfok nő.
  c) A nyomásviszony növelésévekl a hatásfok nő.
  Megoldás
Egy épület fűtésére az ún. dinamikus fűtést használjuk:
1. A fűtőanyagot elégetjük egy hőerőgép tűzszekrényében, melynek hőmérsékletét állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten tartjuk (ez a hőerőgép felső hőtartálya).
2. A hőerőgép egy hőszivattyút működtet, amelynek alsó hőtartálya egy tó $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vize, felső hőtartálya pedig a hőerőgépet hűtő $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz, amely az épületet egyúttal fűti ( $\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ).
A tűzszekrényben $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ égéshőjű anyag ég, a hőerőgép és a hőszivattyú veszteség nélkül, Carnot-hatásfokkal működik. Határozzuk meg, mennyi hőt kap a helyiség egységnyi tömegű fűtőanyag elégetése árán!
Végeredmény
$Q=q\frac{1-T_2/T_1}{1-T_2/T}>q.$

Megoldás

@@ 37. sor: / 37. sor: @@
 | $0$
 | $0$
-| $\displaystyle nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$
+| $\displaystyle -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$
 |-
 | {{Hl1}} | '''adiabatikus'''<br />''S''=const.

„Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok” változatai közötti eltérés

A lap 2019. október 16., 12:09-kori változata

Néhány fontos összefüggés

Feladatok

Navigációs menü

Nézetek

Személyes eszközök

navigáció

Képzések

Kísérleti videók

Keresés

Eszközök

Kategóriák