„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött fémgömb árnyékolással potenciáltere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
16. sor: | 16. sor: | ||
A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt: | A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt: | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi$$ |
− | $$ | + | $$E=\frac{\omega}{\epsilon_{0}}$$ |
A külső gömb külső sugara $R_{3} = R_{2}+d$ erre felírva a Gauss-tételt: | A külső gömb külső sugara $R_{3} = R_{2}+d$ erre felírva a Gauss-tételt: | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot R_{3}^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi$$ |
− | $$ | + | $$E=\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot R_{3}^{2}}$$ |
'''b)''' Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt: <br> | '''b)''' Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt: <br> | ||
1: $r < R_{1}$ | 1: $r < R_{1}$ | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ |
2: $R_{1} < r < R_{2}$ | 2: $R_{1} < r < R_{2}$ | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ |
3: $R_{2} < r < R_{3}$ | 3: $R_{2} < r < R_{3}$ | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ |
4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $ | 4.a: (földeletlen): $R_{3} < r $ | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{\omega}{\epsilon_{0}}\cdot 4\cdot R_{1}^{2}\cdot\pi \Rightarrow E= \frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}$$ |
4.b: (földelet): $R_{3} < r $ | 4.b: (földelet): $R_{3} < r $ | ||
Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése $-Q$ legyen. | Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése $-Q$ legyen. | ||
− | $$ | + | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = 0 \Rightarrow \vec{E}=0$$ |
'''c)''' A gömbök közötti potenciálkülönbség: | '''c)''' A gömbök közötti potenciálkülönbség: | ||
$$\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}$$ | $$\Delta U = -\int_{R_{1}}^{R_{2}}\vec{E}\vec{dr}=-\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega\cdot R_{1}^{2}}{\epsilon_{0}\cdot r^{2}}\vec{dr}$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 13., 13:35-kori változata
Feladat
- Egy sugarú tömör fémgömböt koncentrikusan vesz körül, egy falvastagságú fém gömbhéj, aminek a belső átmérője . Közöttük levegő van. A belső fémgömböt feltöltjük, úgy, hogy a felületi töltéssűrűsége .
a) Határozzuk meg a számszerűen a térerősséget a gömbök felszínén.
b) Ábrázoljuk a térerősséget, mint a középponttól mért távolság függvényét, ha a külső gömb földeletlen, illetve földelt.
c) Mekkora a gömbök közötti potenciálkülönbség?
d) Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható a gömbökre, ha dielektromos szilárdságú szigetelőt teszünk közéjük?
Megoldás
a) Földeletlen esetben a külső gömbön töltésmegosztás jön létre. Ha az sugarú gömb töltése akkor a külső gömb belső felületén , külső felületén pedig töltés jön létre.
A belső gömb felszínére felírva a Gauss-tételt:
A külső gömb külső sugara erre felírva a Gauss-tételt:
b) Különböztessünk meg négy esetet és írjuk fel rájuk a Gauss tételt:
1:
2:
3:
4.a: (földeletlen):
4.b: (földelet):
Ekkor annyi töltés jelenik meg a külső gömb külső felszínén, hogy a külső gömb összes töltése legyen.
c) A gömbök közötti potenciálkülönbség:
d) A legnagyobb térerősség a belső gömbbe felszínén van:. Ezzel felírva a gömbök közötti potenciálkülönbséget:A gömbre, akkora potenciálkülönbséget rakhatunk, hogy a kialakuló tér maximális értéke ne legyen nagyobb mint . Ezzel a gömbökre kapcsolható legnagyobb potenciálkülönbség: