„Magnetosztatika példák - Tömör hengeres vezető öninduktivitása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
| 13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
| − | Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor | + | Folyjon $I$ áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága: |
$$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$ | $$j=\dfrac{I}{R^2\pi}$$ | ||
| 24. sor: | 24. sor: | ||
| − | $$I_{(r)}=\oint{}H_{(r)}dl$$ | + | $$I_{(r)}=\oint{}\vec{H_{(r)}} \vec{dl}$$ |
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk: | A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk: | ||
| 30. sor: | 30. sor: | ||
$$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H_{(r)}$$ | $$I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H_{(r)}$$ | ||
| − | A mágneses tér helyfügése a vezeték belsejében tehát: | + | A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát: |
$$H_{(r)}=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$ | $$H_{(r)}=\dfrac{I}{2\pi R^2}r$$ | ||
A lap 2013. szeptember 15., 14:24-kori változata
Feladat
- Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy
sugarú tömör hengeres vezető 
hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér?
Megoldás
Folyjon 
áram a vezetékben. Ekkor homogén árameloszlás esetén az áramsűrűség nagysága:
![\[j=\dfrac{I}{R^2\pi}\]](/images/math/4/f/1/4f1fce5c695e0396a6edf5ba68380f75.png)
Ennek ismeretében határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezeték belsejében. Vegyünk fel egy 
sugarú kört, melynek tengelye egybeesik a vezeték tengelyével. A felvett kör által határolt területen átfolyó áramerősség:
![\[I_{(r)}=jr^2\pi=\dfrac{I}{R^2\pi}r^2\pi=I\dfrac{r^2}{R^2}\]](/images/math/9/0/d/90db22da0b77d72e4d27dac0e5780863.png)
Az áram ismeretében felírhatjuk a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt:
![\[I_{(r)}=\oint{}\vec{H_{(r)}} \vec{dl}\]](/images/math/7/c/c/7cca4ea16124bd0030543cc96704fb57.png)
A rendszer hengerszimmetriája alapján a fenti egyenletet így is felírhatjuk:
![\[I\dfrac{r^2}{R^2}=2\pi r H_{(r)}\]](/images/math/7/5/c/75c7b24f9b2a60f42d44dc2fceba45b8.png)
A mágneses tér nagyságának helyfügése a vezeték belsejében tehát:
![\[H_{(r)}=\dfrac{I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/5/a/1/5a145975ae799977580fd3d79c972b54.png)
A mágneses indukció pedig:
![\[B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r\]](/images/math/f/0/a/f0a566755e768243dfba5331632aafc7.png)
A mágneses indukció fluxusát kiszámíthatjuk az hosszúságú vezetékdarab belsejében:
![\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{0}^{R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2}\int_{0}^{R}rdr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi R^2} \dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}\]](/images/math/e/2/6/e2690970293b1294f5085b3262316ed3.png)
A vezetékdarab belsejében levő tér okozta öninduktivitás:
![\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}\]](/images/math/7/2/1/72118da80c69bc079f976d8be6a8a6fe.png)
