Magnetosztatika - Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás

Feladatok

1. A mágneses indukció $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektorára merőleges sík $\setbox0\hbox{$\mu_{r1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mu_{r2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív permeabilitású anyagokat választ el egymástól. Tekintsünk egy hengert, melynek $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű körlapjai párhuzamosak a határfelülettel! Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukció és a $\setbox0\hbox{$\vec{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses térerősség fluxusát erre a hengerre!
   
   Útmutatás

   Írjuk fel a két térrészben $\setbox0\hbox{$\mathbf{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mathbf{H}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét a határfeltétel szerint, és vizsgáljuk meg, mi ad járulékot a fluxus integráljában!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$\Phi_B = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$\Phi_H = \frac{S B}{\mu_0}\left(\frac{1}{\mu_{r2}}-\frac{1}{\mu_{r1}}\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
2. Végtelen kiterjedésű, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú lemez az 1. ábrának megfelelően $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú, $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú térben helyezkedik el. A lemez anyagának relatív permeabilitása balról jobbra lineárisan változik $\setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ről $\setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re.
   a) Határozzuk meg $\setbox0\hbox{$divH$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében!
   b) Mekkora a $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség fluxusa egy $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengelyű hengerre, amelynek $\setbox0\hbox{$S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű alap és fedőköre $\setbox0\hbox{$x_1=a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x_2=3a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen van?
   
   
   Végeredmény

   a)

   $\[divH=\dfrac{dH}{dx}=-\dfrac{\dfrac{B(\mu_2-\mu_1)}{a\mu_0}}{\left( \mu_1+\dfrac{x}{a}(\mu_2-\mu_1)\right)^2}\]$

   
   b)

   $\[\Phi=\dfrac{SB}{\mu_0}\left( \dfrac{2}{\mu_1+\mu_2} -1\right)\]$
   Megoldás
   
   
3. $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú toroid $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetében $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. A toroid $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú belsejét $\setbox0\hbox{$\chi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses szuszceptibilitású anyag tölti ki.
   a) Mekkora a mágneses térerősség?
   b) Mekkora a mágnesezettség?
   c) Mekkora a mágneses indukció?
   Végeredmény

   a)

   $\[H=\dfrac{NI}{2\pi R}\]$

   
   b)

   $\[M=\dfrac{\chi NI}{2\pi R}\]$

   
   c)

   $\[B=\dfrac{\mu_0(1+\chi)NI}{2\pi R}\]$
   Megoldás
   
   
4. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű szolenoidban $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. A szolenoidba helyezünk egy ugyanolyan keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$h<l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú vashengert, amelynek relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\mu_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Számítsuk ki a mágneses térerősség és a mágneses indukció értékét a vason belül és kívül!
   Végeredmény

   $\[H_{vas}=\dfrac{ NI}{h\left( 1-\mu_v \right)+l\mu_v} \]$

   $\[H_{levego}=\dfrac{ NI}{h\left( \dfrac{1}{\mu_v}-1 \right)+l} \]$
   Megoldás
   
   
5. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű szolenoidban $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. A szolenoidba helyezünk egy ugyanolyan hosszúságú, de $\setbox0\hbox{$r<R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú vashengert, amelynek relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\mu_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Számítsuk ki a tekercs indukciófluxusát!
   Végeredmény

   $\[ \Phi=A_{vas}B_{vas}+A_{levego}B_{levego}=\dfrac{NI\mu_0\pi}{l} \left( R^2+r^2(\mu_v-1)\right)\]$
   Megoldás
   
   
6. Határozzuk meg egy $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal átjárt, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetű szolenoid fluxusát és öninduktivitását!
   Végeredmény

   $\[L=\dfrac{N\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{l}\]$
   Megoldás
   
   
7. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú koaxiális hengerpár belső, $\setbox0\hbox{$r_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületen $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik a tengely irányában, míg a külső, $\setbox0\hbox{$r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú felületen ugyanakkora, de ellentétes irányú áram folyik. Számítsuk ki a rendszer öninduktivitását!
   Végeredmény

   $\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}ln\left( \dfrac{r_k}{r_b} \right)\]$
   Megoldás
   
   
8. Mekkora a fluxus (homogén árameloszlás esetén) egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tömör hengeres vezető (relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\mu_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabjában? Mekkora öninduktivitást kölcsönöz a vezetéknek a henger belsejében kialakult mágneses tér?
   Végeredmény

   $\[\Phi=\dfrac{\mu_0 l I}{4\pi}\]$

   $\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{4\pi}\]$
   Megoldás
   
   
9. Határozzuk meg egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú, négyzet keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű toroid tekercs öninduktivitását, ha a tekercs belső sugara $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
   Útmutatás

   Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses térerősséget a tekercs belsejében a tengelytől mért távolság függvényében a gerjesztési törvénysegítségével, számoljuk ki ebből 1 menetre a fluxust, végül az $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menet fluxusából határozzuk meg az önindukciós együtthatót!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_0 N^2 a}{2 \pi}\, \mathrm{ln} \frac{a+b}{b}.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
10. Mekkora az öninduktivitása két igen hosszú, párhuzamos, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerből álló vezetőpár $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú darabjának, ha a vezetékek $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra vannak egymástól?
    Végeredmény

    $\[L=L_1+2L_2=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)+\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}\]$
    Megoldás
    
    
11. Egy $\setbox0\hbox{$a\times b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú, téglalap alakú vezető keret síkjában az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú éllel párhuzamosan, attól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra elhelyezünk egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőt. Mekkora az egyenes vezető és a vezető keret közti kölcsönös induktivitás?
    Végeredmény

    $\[L=L_1+2L_2=\dfrac{\mu_0 l}{\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)+\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}\]$
    Megoldás
    
    
12. Egy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetszámú, $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső sugarú, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezető helyezkedik el. Mekkora a rendszer kölcsönös induktivitása?
    Végeredmény

    $\[L=\dfrac{N\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 Na}{2\pi} ln \left( \dfrac{d+a}{d} \right)\]$
    Megoldás
    
    
13. $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú körvezetővel azonos síkban koncentrikusan helyezkedik el egy $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú körvezető. Feltéve, hogy $\setbox0\hbox{$a>>b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mekkora a kölcsönös induktivitás?
    Végeredmény

    $\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 \pi b^2 }{2 a}\]$
    Megoldás
    
    
14. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$r_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$r_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző $\setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása?
    
    
    Végeredmény

    $\[L= \dfrac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}\]$
    Megoldás
    
    
15. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú toroid tekercs vasmagján kicsiny $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú légrés található. A tekercs menetszáma $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, benne $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramerősség folyik. A légrésben $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú mágneses tér mérhető. Mekkora a vasmag mágneses permeabilitása?
    Végeredmény

    $\[ \mu_v=\dfrac{2\pi r-d}{\dfrac{NI\mu_0}{B}-d}\]$
    Megoldás
    
    
16. Mekkora az öninduktivitása az 1. ábrán vázolt $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő szalagpárnak, ha a szalagok közötti tér egyik felét $\setbox0\hbox{$\mu_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a másik felét $\setbox0\hbox{$\mu_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki? Tételezzük fel, hogy $\setbox0\hbox{$L\gg D\gg d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    
    
    Végeredmény

    $\[ L=\dfrac{ 2ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]$
    Megoldás