Termodinamika példák - Carnot-hűtőgép

Feladat

1. Egy Carnot-hűtőgép egyik hőtartályában $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, forrásban lévő víz, a másikban $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz van. A víz forráshője $\setbox0\hbox{$L_f=2,25\cdot {10}^6\,\mathrm{\frac{J}{kg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a jég olvadáshője $\setbox0\hbox{$L_o=3,33\cdot {10}^5\,\mathrm{\frac{J}{kg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Mennyi vizet kell az alsó hőtartályban $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű jéggé fagyasztani ahhoz, hogy a felső hőtartályban $\setbox0\hbox{$m_g=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$100\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű gőz keletkezzék?
   • b) Mennyi külső munkát kell a körfolyamatba betáplálni?

Megoldás

Egy körfolyamat hatásfokát a végzett $\setbox0\hbox{$\Delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hasznos munkával és a felvett $\setbox0\hbox{$\Delta Q_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hő nagyságával jellemezzük,

$\[ \eta = \frac{\Delta W}{\Delta Q_2}=\frac{\Delta Q_2-\Delta Q_1}{\Delta Q_2}=1-\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2}, \]$

és Carnot-körfolyamat esetében a hatásfok az adott $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alacsony és $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magas hőmérsékletű hőtartályokkal elérhető maximális

$\[ \eta_C = 1-\frac{T_1}{T_2}. \]$

Most a körfolyamatot hőszivattyáként üzemeltetjük, aminek hatásfoka azonos, de szokás inkább $\setbox0\hbox{$K_\text{hsz}=\frac{Q_1}{W}=\frac1\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítménytényezővel jellemezni.

a) A felírt egyenletekből következik, hogy

$\[ \frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2}=\frac{T_1}{T_2}, \]$

azaz a keletkező jég $\setbox0\hbox{$m_j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegére

$\[ \frac{L_o m_j}{L_f m_g}=\frac{T_1}{T_2} \qquad \Rightarrow \qquad m_j= m_g\frac{L_f}{L_o}\frac{T_1}{T_2}. \]$

b) Az előzőek alapján a szükséges munka

$\[ \Delta W= \eta \Delta Q_2 = \left(1-\frac{T_1}{T_2}\right) L_f m_g. \]$