Magnetosztatika példák - Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár
Feladat
- Mekkora az öninduktivitása az 1. ábrán vázolt
szélességű,
hosszúságú, egymástól
távolságra levő szalagpárnak, ha a szalagok közötti tér egyik felét
a másik felét
relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki? Tételezzük fel, hogy
1. ábra
Megoldás
Áramjárta vezető rendszer öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér
energiája között az alábbi összefüggés írható fel.
![\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/d/3/4/d3413dd5aa07af8f8fde0db6692eff68.png)
Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret.
A feltételnek köszönhetően az ellentétes irányokba folyó áramoktól átjárt szalagok igen közel vannak egymáshoz, tehát szalagokon kívüli térben indukált mágneses mező már nagyságrendileg
távolságban elhanyagolható értékű. Élhetünk tehát azzal a feltételezéssel, hogy mágneses indukció csak a két lemez közti térben található. Ezt kihasználva felvesszük a 2. ábra szerinti zárt görbét, és felírjuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.
2. ábra
![\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}\dfrac{D}{2}+H_{2}\dfrac{D}{2}\]](/images/math/7/2/d/72d2eb011a7569381907b63c891b917b.png)
Ahol és
a lemezek közti teret kitöltő, eltérő mágneses permeabilitású közegekben mérhető mágneses gerjesztés értékei. Tudjuk, hogy a közeghatáron az arra merőleges mágneses indukció folytonosan halad át, ezért a mágneses gerjesztés nagyságát az alábbiak szerint fejezhetjük ki:
![\[ H_{1}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\]](/images/math/d/6/9/d6936ad27f9d52e10c21752f21632449.png)
![\[H_{2}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\]](/images/math/1/a/0/1a07807e0af4ddc1e37530446940755d.png)
Helyettesítsük be ezeket a gerjesztési törvénybe:
![\[ I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\dfrac{D}{2}+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\dfrac{D}{2}\]](/images/math/c/a/5/ca57921746002cb450b55d392270b8fb.png)
Ebből kifejezhetjük az ismeretlen mágneses indukciót:
![\[ B=\dfrac{2\mu_0 I}{D}\dfrac{\mu_1 \mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/3/7/a/37a59325ddaed095b0dbdf79d7d4b7ab.png)
A mágneses indukció ismeretében explicit módon meghatározhatóak a mágneses gerjesztés értékei:
![\[ H_1=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/3/b/7/3b76a6e02cc524f7bd473f313422c27e.png)
![\[ H_2=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_1}{\mu_1 +\mu_2}\]](/images/math/e/3/e/e3ebfe186289add4f2f96c9a5e6b8432.png)
A lemezek közt található két közegben meghatározható a mágneses tér energiasűrűsége:
![\[e_1=\dfrac{1}{2}BH_1=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2 ^2}{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]](/images/math/7/2/1/72120c4c7541f06df4c6b112f7ea8d54.png)
![\[e_2=\dfrac{1}{2}BH_2=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1^2 \mu_2 }{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]](/images/math/c/a/3/ca3533fc1d98881e8af3c4c1a53877d6.png)
A feltételből következik, hogy az egyes közegekben mérhető mágneses tér homogén. A tér összenergiájának meghatározása tehát jelentősen leegyszerűsödik:
![\[ E_m= \int \ edV=e_1 \dfrac{D}{2}ld+e_2 \dfrac{D}{2}ld\]](/images/math/8/5/8/8585bd7dac89184cd6f7ec3c51615089.png)
Behelyettesítve ebbe a fentebb meghatározott és
energiasűrűség értékeket megkapjuk a mágneses térben tárolt energiát.
![\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]](/images/math/a/1/5/a1538a29132c481d50e7786f1cf11173.png)
A tér energiája, és a rendszer öninduktivitása közötti összefüggést felírva az alábbi egyenletet kapjuk:
![\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}=\dfrac{1}{2}LI^2\]](/images/math/e/6/f/e6f2acc2f666236baecc25d4d2af3c52.png)
Mely alapján meghatározható az öninduktivitás:
![\[ L=\dfrac{ 2ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]](/images/math/3/b/9/3b927ac8777405a6971887687dfb2291.png)