Magnetosztatika példák - Vasmagos szolenoid mágneses tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű szolenoidban $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű áram folyik. A szolenoidba helyezünk egy ugyanolyan keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$h<l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú vashengert, amelynek relatív permeabilitása $\setbox0\hbox{$\mu_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Számítsuk ki a mágneses térerősség és a mágneses indukció értékét a vason belül és kívül!

Megoldás

Szimmetria okokból feltételezzük, hogy a szolenoidban kialakuló mágneses indukció mindenütt párhuzamos a tekercs tengelyével. Ebben az esetben a mágneses indukció a vasmag közeghatárain merőlegesen halad át, tehát nagysága a tekercsen belül konstans $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékűnek tekinthető. Ebből következik, hogy a $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses tér viszont a két közegben eltérő:

$\[H_{vas}=\dfrac{B}{\mu_0 \mu_v}\]$

$\[H_{levego}=\dfrac{B}{\mu_0}\]$

Vegyünk fel egy zárt görbét, mely végighalad a szolenoid tengelye mentén, majd a tekercsen kívül, attól nagy távolságban záródik. A zárt görbére írjuk fel az Amper-féle gerjesztési törvényt:

$\[NI=\oint{}Hdl=H_{vas}h+H_{levego}(l-h)=\dfrac{B}{\mu_0} \left( \dfrac{h}{\mu_v}+(l-h) \right)\]$

Ebből kifejezve a mágneses indukciót:

$\[B=\dfrac{\mu_0 NI}{h\left( \dfrac{1}{\mu_v}-1 \right)+l} \]$

Az ismert mágneses indukció értékét behelyettesítve a térerősség korábban felírt összefüggéseibe, megkapjuk a térerősségeket:

$\[H_{vas}=\dfrac{ NI}{h\left( 1-\mu_v \right)+l\mu_v} \]$

$\[H_{levego}=\dfrac{ NI}{h\left( \dfrac{1}{\mu_v}-1 \right)+l} \]$