Elektrosztatika példák - Párhuzamos végtelen síklapok potenciáltere

Feladat

1. Két párhuzamos, nagy kiterjedésű vezető sík egyike földelt, a másik felületi töltéssűrűsége $\setbox0\hbox{$\omega_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A lemezek távolsága $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   a) Mekkora a lemezek közötti potenciálkülönbség?
   b) Mekkora lesz a potenciálkülönbség, ha a lemezekkel párhuzamosan, tőlük egyenlő távolságra, egy $\setbox0\hbox{$\omega_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűségű harmadik lemezt helyezünk?

Megoldás

a) A földelt lemezen $\setbox0\hbox{$-\omega_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületi töltéssűrűség alakul ki. A lemezek közötti térerősség:

$\[\vec{E}=\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\]$

Ebből a lemezek közötti potenciálkülönbség:

$\[ U =\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot d \]$

b)
Ebben az esetben a földelt lemezen kialakuló felületi töltéssűrűség: $\setbox0\hbox{$\omega_{3} = -(\omega_{1}+\omega_{2})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hiszen a földelt lemez helyén, a másik két lemez által okozott térerősség húzza fel a töltéseket a földből.Ebből a térerősségek a lemezek között:

$\[\vec{E_{1}}=\frac{\omega_{1}}{2\cdot\epsilon_{0}}+\frac{\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{3}}{2\cdot\epsilon_{0}}=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}\]$

$\[\vec{E_{2}}=\frac{\omega_{1}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}-\frac{\omega_{3}}{2\cdot\epsilon_{0}}=\frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\]$

Ebből a potenciál különbség:

$\[U = U_{1}+U_{2} = \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2\cdot\epsilon_{0}}\cdot d + \frac{\omega_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot d = \frac{2\cdot\omega_{1}+\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot \frac{d}{2} \]$