Mechanika - Doppler ferde mozgásnál

Feladat

1. (*7.21.) Két vonat halad azonos irányban $\setbox0\hbox{$90\,\rm{km/h}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel, közöttük $\setbox0\hbox{$l=2\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es közzel. Mit észlel az ábra szerinti $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban elhelyezkedő megfigyelő, ha a vonatok egyidejűleg $\setbox0\hbox{$500\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú jelzéseket adnak? ($\setbox0\hbox{$b=1\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hang sebessége $\setbox0\hbox{$c=350\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   

Megoldás

A két vonat nem az őket a megfigyelővel összekötő egyenesek mentén mozog, ezért sebességüknek ($\setbox0\hbox{$v=25\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) ez irányú komponensét kell csak figyelembe venni. A megadott távolságok esetén az ábrán látható háromszögek $\setbox0\hbox{$45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os derékszögű háromszögek, így a két észlelt frekvencia

$\[f_{1,2}=f_0\frac c{c\pm\frac v{\sqrt2}}=475,96\,\text{Hz és }526,6\,\rm{Hz},\]$

így a megfigyelő egy $\setbox0\hbox{$\frac{f_1+f_2}2=501,3\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú hangot hall $\setbox0\hbox{$f_2-f_1=50,6\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú lebegéssel.