Magnetosztatika példák - Koaxiális kábel öninduktivitása

Feladat

1. Adott egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú koaxiális hengerpár. A belső, $\setbox0\hbox{$r_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületen $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik a tengely irányában, míg a külső, $\setbox0\hbox{$r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú felületen ugyanakkora, de ellentétes irányú áram folyik. Számítsuk ki a rendszer öninduktivitását!

Megoldás

Először határozzuk meg a rendszer által indukált mágneses teret! Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$r_b<r<r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú kört a hengerekével egybeeső tengellyel. Írjuk fel erre a zárt görbére az Amper-féle gerjesztési törvényt!

$\[I=\oint{}Hdl=2r\pi H\]$

Ebből a hengerszimmetrikus mágneses teret meghatározhatjuk a tengelytől mért távolság függvényében:

$\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\]$

Az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen belátható, hogy a két hengeren kívül ($\setbox0\hbox{$r>r_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a mágneses tér zérus. Ebből következik, hogy mágneses indukció csak a két henger közötti térben van, melynek fluxusa a következőképp számítható, ha tudjuk, hogy $\setbox0\hbox{$B=\mu_0 H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[\Phi=\int{}BdA=l\int_{r_b}^{r_k}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi}\int_{r_b}^{r_k}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 l I}{2\pi}ln\left( \dfrac{r_k}{r_b} \right)\]$

A rendszer önindukciója:

$\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 l}{2\pi}ln\left( \dfrac{r_k}{r_b} \right)\]$