Magnetosztatika példák - Koncentrikus körvezetők öninduktivitása

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú körvezetővel azonos síkban koncentrikusan helyezkedik el egy $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú körvezető. Feltéve, hogy $\setbox0\hbox{$a>>b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mekkora a kölcsönös induktivitás?

Megoldás

Folyjon $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram a nagyobbik, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hurokban. Ennek mágneses tere a kör középpontjában kiszámítható a Biot-Savart törvény segítségével. Először vegyünk egy $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú ívdarabot, melynek hosszát a hozzá tartozó infinitezimális középponti szög segítségével fejezünk ki:

$\[dl=ad\varphi\]$

Ezen ívdarab által a kör középpontjában keltett $\setbox0\hbox{$dB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukció járuléka a Biot-Savart törvény alapján a következő, kihasználva azt a tényt, hogy az érintő irányú ívdarab merőleges a kör sugarára:

$\[dB=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{dl}{a^2}=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{d\varphi}{a}\]$

Tudván, hogy a körív infinitezimális elemei által a középpontban keltett indukció járulékok iránya merőleges a kör síkjára, a teljes körív által keltett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciót egyszerűen kiszámíthatjuk:

$\[B=\int{}dB=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}\int_{0}^{2pi}d\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}2\pi=\dfrac{\mu_0 I}{2 a}\]$

Ezután feltételezzük, hogy a nagyobbik gyűrű középpontja körüli kicsiny $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú környezetben a mágneses indukció homogén. Így a $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gyűrű által körülzárt mágneses tér fluxusa:

$\[\Phi=b^2\pi B=\dfrac{\mu_0 \pi b^2 I }{2 a}\]$

A kölcsönös indukció tehát:

$\[L=\dfrac{\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 \pi b^2 }{2 a}\]$