Elektrosztatika példák - Töltéssel ellátott koaxiális fémhengerek közötti potenciálkülönbség

Feladat

1. Két végtelen hosszú koaxiális fémhengert egynemű töltéssel töltünk fel úgy, hogy a töltéssűrűség a külső hengeren $\setbox0\hbox{$\omega_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a belsőn pedig $\setbox0\hbox{$\omega_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hengerek sugara $\setbox0\hbox{$R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a hengerek közötti potenciálkülönbséget?

Megoldás

Vegyünk egy igen hosszú ( $\setbox0\hbox{$L>>R_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengert, amely körbe zárja a belső hengert, de sugara kisebb a külső henger sugránál. ($\setbox0\hbox{$R_{1}<r<R_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Írjuk fel erre a Gauss-tételt:

$\[E\cdot 2\cdot r\cdot\pi\cdot L = \frac{\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot 2\cdot R_{1}\cdot\pi\cdot L\]$

Amiből:

$\[E= \frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\]$

A pontenciálkülönbség pedig:

$\[\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) \]$